Упр.764 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Корни $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$x^2-7x+m=0$$ удовлетворяют условию $$2x_1-5x_2=28$$. Найдите корни уравнения и значение $$m$$.
2. Постройте график функции:
   
   1) $$y=\frac{x^2-2x-8}{x-4}$$;
   
   2) $$y=\frac{x^2-x-2}{x+1}-\frac{x^2-x-30}{x+5}$$.

Пусть корни уравнения $$x^2-7x+m=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=7,$$
$$x_1x_2=m.$$

По условию:

$$2x_1-5x_2=28.$$

Из суммы корней выразим $$x_1$$:

$$x_1=7-x_2.$$

Подставим в уравнение:

$$2(7-x_2)-5x_2=28 \\ 14-2x_2-5x_2=28 \\ -7x_2=14 \\ x_2=-2.$$

Тогда

$$x_1=7-(-2)=9.$$

Найдём $$m$$:

$$m=x_1x_2=9\cdot(-2)=-18.$$

1) $$y=\dfrac{x^2-2x-8}{x-4}$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2).$$

Тогда

$$y=\dfrac{(x-4)(x+2)}{x-4}=x+2,\quad x\ne 4.$$

График — прямая $$y=x+2$$, в точке $$x=4$$ есть выколотая точка $$\left(4;6\right)$$.

2) $$y=\dfrac{x^2-x-2}{x+1}-\dfrac{x^2-x-30}{x+5}$$

Разложим числители на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),$$

$$x^2-x-30=(x-6)(x+5).$$

Тогда

$$y=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x+1}-\dfrac{(x-6)(x+5)}{x+5}=x-2-(x-6)=4,$$

при $$x\ne -1$$ и $$x\ne -5$$.

График — прямая $$y=4$$ с выколотыми точками $$(-1;4)$$ и $$(-5;4)$$.

Ответ

$$x_1=9,\quad x_2=-2,\quad m=-18.$$

1) $$y=x+2,\ x\ne 4.$$

2) $$y=4,\ x\ne -1,\ x\ne -5.$$