Упр.756 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2-7x-13=0$$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $$x_1x_2-4x_1-4x_2$$.
2. Задание учебника 2019 года. Сократите дробь:
   1) $$\frac{x^2-6x+5}{x-5}$$;
   2) $$\frac{2x+12}{x^2+3x-18}$$;
   3) $$\frac{x^2+9x+14}{x^2+7x}$$.

1) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2-7x-13=0$$. Разделим его на $$2$$:

$$x^2-\frac{7}{2}x-\frac{13}{2}=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{7}{2}, \qquad x_1x_2=-\frac{13}{2}.$$

Тогда

$$x_1x_2-4x_1-4x_2=x_1x_2-4(x_1+x_2) =-\frac{13}{2}-4\cdot\frac{7}{2} =-\frac{13}{2}-14 =-\frac{41}{2}.$$

2) Сократим дробь:

$$\frac{x^2-6x+5}{x-5} =\frac{(x-1)(x-5)}{x-5} =x-1, \qquad x\ne 5.$$

3) Сократим дробь:

$$\frac{2x+12}{x^2+3x-18} =\frac{2(x+6)}{(x+6)(x-3)} =\frac{2}{x-3}, \qquad x\ne -6,\; x\ne 3.$$

4) Сократим дробь:

$$\frac{x^2+9x+14}{x^2+7x} =\frac{(x+7)(x+2)}{x(x+7)} =\frac{x+2}{x}, \qquad x\ne -7,\; x\ne 0.$$

Ответ

$$-\frac{41}{2}; \quad 1)\ x-1,\ x\ne 5; \quad 2)\ \frac{2}{x-3},\ x\ne -6,\ x\ne 3; \quad 3)\ \frac{x+2}{x},\ x\ne -7,\ x\ne 0.$$