Упр.741 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разных цветов.
- Задание учебника 2019 года. Найдите все целые значения $$b$$, при которых имеет целые корни уравнение:
1) $$x^2+bx+8=0$$;
2) $$x^2+bx-18=0$$.
1) Если выбрать по 10 кубиков каждого из 10 цветов, то всего получится $$10 \cdot 10 = 100$$ кубиков. Значит, среди 101 кубика обязательно найдётся либо 11 кубиков одного цвета, либо, если 101-й кубик окажется другого цвета, можно выбрать 11 кубиков разных цветов.
Следовательно, утверждение верно.
2) Рассмотрим уравнение $$x^2+bx+8=0.$$
Если его корни целые, то по теореме Виета
$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=8.$$
Подходящие целые пары множителей числа $$8$$:
$$1\cdot 8,\quad 2\cdot 4,\quad (-1)\cdot(-8),\quad (-2)\cdot(-4).$$
Тогда
$$b=-(1+8)=-9,\quad b=-(2+4)=-6,\quad b=-((-1)+(-8))=9,\quad b=-((-2)+(-4))=6.$$
Значит, $$b=\pm 6,\ \pm 9.$$
3) Рассмотрим уравнение $$x^2+bx-18=0.$$
По теореме Виета
$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=-18.$$
Подходящие целые пары множителей числа $$-18$$:
$$1\cdot(-18),\ 2\cdot(-9),\ 3\cdot(-6),\ (-1)\cdot 18,\ (-2)\cdot 9,\ (-3)\cdot 6.$$
Тогда
$$b=17,\ 7,\ 3,\ -17,\ -7,\ -3.$$
Следовательно, $$b=\pm 3,\ \pm 7,\ \pm 17.$$
Ответ
1) Утверждение верно.
2) $$b=\pm 6,\ \pm 9.$$
3) $$b=\pm 3,\ \pm 7,\ \pm 17.$$
