Упр.740 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Заполните таблицу, где $$a$$, $$b$$ и $$c$$ — коэффициенты квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, а $$x_1$$ и $$x_2$$ — его корни.
2. Найдите все целые значения $$b$$, при которых имеет целые корни уравнение:
   
   1) $$x^2+bx+6=0$$;
   
   2) $$x^2+bx-12=0$$.

Используем теорему Виета для уравнения $$x^2+bx+c=0$$:

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$

1) Для уравнения $$x^2+bx+6=0$$ нужно, чтобы целые корни были целыми делителями числа $$6$$ и их произведение равнялось $$6$$.

Подходящие пары целых чисел:

$$1\cdot 6=6,\qquad 2\cdot 3=6,\qquad (-1)\cdot(-6)=6,\qquad (-2)\cdot(-3)=6.$$

Тогда суммы корней равны:

$$1+6=7,\qquad 2+3=5,\qquad (-1)+(-6)=-7,\qquad (-2)+(-3)=-5.$$

Так как $$x_1+x_2=-b$$, получаем:

$$b=-7,\,-5,\,5,\,7.$$

2) Для уравнения $$x^2+bx-12=0$$ нужно, чтобы целые корни были целыми делителями числа $$-12$$ и их произведение равнялось $$-12$$.

Подходящие пары целых чисел:

$$(-1)\cdot 12=-12,\qquad (-2)\cdot 6=-12,\qquad (-3)\cdot 4=-12,\qquad (-4)\cdot 3=-12,$$

а также пары с перестановкой знаков:

$$1\cdot(-12)=-12,\qquad 2\cdot(-6)=-12,\qquad 3\cdot(-4)=-12,\qquad 4\cdot(-3)=-12.$$

Суммы корней:

$$11,\ 4,\ 1,\ -1,\ -4,\ -11.$$

Значит,

$$b=-11,\,-4,\,-1,\,1,\,4,\,11.$$

Ответ

1) $$b=-7,\,-5,\,5,\,7$$.

2) $$b=-11,\,-4,\,-1,\,1,\,4,\,11$$.