Упр.737 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат $$5\%$$ и $$45\%$$ никеля соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить $$120\ \text{т}$$ сплава с $$30\%$$-ным содержанием никеля?
2. Сумма квадратов корней уравнения $$3x^2+ax-7=0$$ равна $$\frac{46}{9}$$. Найдите значение $$a$$.

Пусть $$x$$ т — масса сплава первого сорта, а $$y$$ т — масса сплава второго сорта. Тогда составим систему:

$$\begin{cases} x+y=120,\\ 0{,}05x+0{,}45y=0{,}3\cdot 120. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$20$$:

$$\begin{cases} x+y=120,\\ x+9y=720. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$8y=600,\qquad y=75.$$

Тогда

$$x=120-75=45.$$

Значит, нужно взять $$45$$ т сплава первого сорта и $$75$$ т сплава второго сорта.

Теперь решим уравнение $$3x^2+ax-7=0$$. Пусть его корни $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{a}{3},\qquad x_1x_2=-\frac{7}{3}.$$

По условию:

$$x_1^2+x_2^2=\frac{46}{9}.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим:

$$\frac{46}{9}=\left(-\frac{a}{3}\right)^2-2\left(-\frac{7}{3}\right) =\frac{a^2}{9}+\frac{14}{3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{46}{9}=\frac{a^2}{9}+\frac{42}{9}.$$

Тогда

$$\frac{a^2}{9}=\frac{4}{9},\qquad a^2=4,\qquad a=\pm 2.$$

Ответ

$$45\text{ т и }75\text{ т};\quad a=\pm 2.$$