Упр.734 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

((а + b)/a — 4b/(а + b)) * (а + b)/(а — b). Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения х2 — 12x + 4 = 0.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{a+b}{a}-\frac{4b}{a+b}\right)\cdot \frac{a+b}{a-b} $$

Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
$$ \frac{a+b}{a}-\frac{4b}{a+b} = \frac{(a+b)^2-4ab}{a(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{a(a+b)}. $$

Тогда
$$ \left(\frac{(a-b)^2}{a(a+b)}\right)\cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b}{a}. $$

2) Составим квадратное уравнение.

Пусть корни исходного уравнения $$x^2-12x+4=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$ x_1+x_2=12,\qquad x_1x_2=4. $$

Корни нового уравнения на 3 больше:

$$ x_1’=x_1+3,\qquad x_2’=x_2+3. $$

Найдём их сумму и произведение:

$$ x_1’+x_2’=(x_1+x_2)+6=12+6=18, $$

$$ x_1’x_2’=(x_1+3)(x_2+3)=x_1x_2+3(x_1+x_2)+9=4+36+9=49. $$

Следовательно, искомое уравнение:

$$ x^2-18x+49=0. $$