Упр.726 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$b$$ имеет единственный корень уравнение:
   а) $$6x^2-18x+b=0$$;
   б) $$8x^2+bx+2=0$$?
2. Корни уравнения $$x^2+20x+a=0$$ относятся как $$7:3$$. Найдите значение $$a$$ и корни уравнения.

1) Для уравнения $$6x^2-18x+b=0$$ единственный корень будет тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю:

$$D=(-18)^2-4\cdot 6\cdot b=324-24b.$$

Приравниваем к нулю:

$$324-24b=0$$

$$24b=324$$

$$b=13{,}5.$$

2) Для уравнения $$8x^2+bx+2=0$$ единственный корень будет при

$$D=b^2-4\cdot 8\cdot 2=b^2-64=0.$$

Тогда

$$b^2=64$$

$$b=\pm 8.$$

3) Пусть корни уравнения $$x^2+20x+a=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём

$$x_1:x_2=7:3.$$

Тогда можно положить

$$x_1=7m,\quad x_2=3m.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-20,$$

значит

$$7m+3m=-20$$

$$10m=-20$$

$$m=-2.$$

Следовательно,

$$x_1=7\cdot(-2)=-14,\quad x_2=3\cdot(-2)=-6.$$

Найдём $$a$$ по формуле Виета:

$$a=x_1x_2=(-14)\cdot(-6)=84.$$

Ответ

1) $$b=13{,}5$$; 2) $$b=\pm 8$$; 3) $$a=84,$$ корни: $$-14$$ и $$-6$$.