Упр.725 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$b$$ имеет единственный корень уравнение:
   1) $$2x^2+4x-b=0$$;
   2) $$3x^2-bx+12=0$$?
2. Один из корней уравнения $$x^2-10x+c=0$$ на 8 меньше другого. Найдите значение $$c$$ и корни уравнения.

1) Чтобы квадратное уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю:

$$2x^2+4x-b=0$$
$$D=4^2-4\cdot 2\cdot(-b)=16+8b$$
$$16+8b=0$$
$$8b=-16$$
$$b=-2$$

2) Аналогично:

$$3x^2-bx+12=0$$
$$D=b^2-4\cdot 3\cdot 12=b^2-144$$
$$b^2-144=0$$
$$b^2=144$$
$$b=\pm 12$$

3) Пусть корни уравнения $$x^2-10x+c=0$$ равны $$x$$ и $$x+8$$, так как один корень на 8 меньше другого. Тогда по теореме Виета:

$$x+(x+8)=10$$
$$2x+8=10$$
$$2x=2$$
$$x=1$$

Значит, второй корень равен $$1+8=9$$. Тогда

$$c=1\cdot 9=9$$

Ответ

1) $$b=-2$$; 2) $$b=\pm 12$$; 3) $$c=9$$, корни: $$1$$ и $$9$$.