Упр.724 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$6x^2+5x-\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$$;
   2) $$5x^2-14(\sqrt{x})^2-3=0$$.
2. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие — два отрицательных, а какие — корни разных знаков:
   1) $$x^2-12x+14=0$$;
   2) $$x^2+6x-42=0$$;
   3) $$x^2-7x-30=0$$;
   4) $$x^2+16x+10=0$$;
   5) $$x^2-24x+0{,}1=0$$;
   6) $$x^2+20x+3=0$$?

1. $$6x^2+5x-\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}, \quad x\ne -1$$

   Перенесём дроби в одну сторону:

   $$6x^2+5x-1=0$$

   Найдём корни:

   $$D=5^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25+24=49$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{12}$$

   $$x_1=\frac{1}{6}, \quad x_2=-1$$

   Так как $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, остаётся корень $$x=\frac{1}{6}$$.

2. $$5x^2-14(\sqrt{x})^2-3=0$$

   Так как $$x\ge 0$$ и $$\left(\sqrt{x}\right)^2=x$$, получаем:

   $$5x^2-14x-3=0$$

   $$D=(-14)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=196+60=256$$

   $$x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{10}$$

   $$x_1=3,\quad x_2=-\frac{1}{5}$$

   С учётом условия $$x\ge 0$$ подходит только $$x=3$$.

Ответ

1) $$x=\frac{1}{6}$$; 2) $$x=3$$.

1. Для уравнения $$x^2-12x+14=0$$:

   $$x_1+x_2=12,\quad x_1x_2=14$$

   Сумма и произведение положительные, значит оба корня положительные.

2. Для уравнения $$x^2+6x-42=0$$:

   $$x_1+x_2=-6,\quad x_1x_2=-42$$

   Произведение отрицательное, значит корни разных знаков.

3. Для уравнения $$x^2-7x-30=0$$:

   $$x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=-30$$

   Произведение отрицательное, значит корни разных знаков.

4. Для уравнения $$x^2+16x+10=0$$:

   $$x_1+x_2=-16,\quad x_1x_2=10$$

   Сумма и произведение положительные, а сумма отрицательная, значит оба корня отрицательные.

5. Для уравнения $$x^2-24x+0{,}1=0$$:

   $$x_1+x_2=24,\quad x_1x_2=0{,}1$$

   Сумма и произведение положительные, значит оба корня положительные.

6. Для уравнения $$x^2+20x+3=0$$:

   $$x_1+x_2=-20,\quad x_1x_2=3$$

   Сумма и произведение положительные, а сумма отрицательная, значит оба корня отрицательные.

Ответ

Два положительных корня: 1), 5).
Два отрицательных корня: 4), 6).
Корни разных знаков: 2), 3).