Упр.719 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Найдите три последовательных нечетных натуральных числа, если квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего. Известно, что x1 и х2 — корни уравнения 2×2 — 7х — 13 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения х1х2 — 4×1 — 4×2.

1) Пусть три последовательных нечётных натуральных числа равны $$2x-1,\;2x+1,\;2x+3.$$

По условию квадрат первого числа на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего:

$$ (2x-1)^2=2\bigl((2x+1)+(2x+3)\bigr)+33. $$

Раскроем скобки:

$$ 4x^2-4x+1=2(4x+4)+33 $$
$$ 4x^2-4x+1=8x+8+33 $$
$$ 4x^2-12x-40=0 $$
$$ x^2-3x-10=0. $$

Решим уравнение:

$$ D=9+40=49,\qquad \sqrt{D}=7. $$

$$ x=\frac{3\pm 7}{2}. $$

Получаем $$x=5$$ или $$x=-2$$. Так как числа натуральные, подходит $$x=5$$.

Тогда искомые числа:

$$ 2\cdot 5-1=9,\qquad 2\cdot 5+1=11,\qquad 2\cdot 5+3=13. $$

2) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2-7x-13=0.$$ По теореме Виета:

$$ x_1+x_2=\frac{7}{2},\qquad x_1x_2=-\frac{13}{2}. $$

Тогда

$$ x_1x_2-4x_1-4x_2=x_1x_2-4(x_1+x_2) $$
$$ =-\frac{13}{2}-4\cdot \frac{7}{2} =-\frac{13}{2}-14 =-\frac{41}{2}. $$

Ответ

9, 11 и 13; $$-\frac{41}{2}$$.