Упр.719 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего.
2. Задание учебника 2019 года. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2-7x-13=0$$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $$x_1x_2-4x_1-4x_2$$.

1) Пусть три последовательных нечётных натуральных числа равны $$2x-1,\;2x+1,\;2x+3.$$

По условию квадрат первого числа на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего:

$$(2x-1)^2=2\bigl((2x+1)+(2x+3)\bigr)+33.$$

Раскроем скобки:

$$4x^2-4x+1=2(4x+4)+33$$
$$4x^2-4x+1=8x+8+33$$
$$4x^2-12x-40=0$$
$$x^2-3x-10=0.$$

Решим уравнение:

$$D=9+40=49,\qquad \sqrt{D}=7.$$

$$x=\frac{3\pm 7}{2}.$$

Получаем $$x=5$$ или $$x=-2$$. Так как числа натуральные, подходит $$x=5$$.

Тогда искомые числа:

$$2\cdot 5-1=9,\qquad 2\cdot 5+1=11,\qquad 2\cdot 5+3=13.$$

2) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2-7x-13=0.$$ По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{7}{2},\qquad x_1x_2=-\frac{13}{2}.$$

Тогда

$$x_1x_2-4x_1-4x_2=x_1x_2-4(x_1+x_2)$$
$$=-\frac{13}{2}-4\cdot \frac{7}{2} =-\frac{13}{2}-14 =-\frac{41}{2}.$$

Ответ

9, 11 и 13; $$-\frac{41}{2}$$.