Упр.716 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.
2. Число 7 является корнем уравнения $$x^2+px-42=0$$. Найдите значение $$p$$ и второй корень уравнения.

1) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ см и $$x+31$$ см. Тогда по теореме Пифагора:

$$x^2+(x+31)^2=41^2$$

$$x^2+x^2+62x+961=1681$$

$$2x^2+62x-720=0$$

$$x^2+31x-360=0$$

Найдём корни:

$$D=31^2-4\cdot 1\cdot(-360)=961+1440=2401$$

$$\sqrt{D}=49$$

$$x_1=\frac{-31-49}{2}=-40,\quad x_2=\frac{-31+49}{2}=9$$

Отрицательное значение не подходит, значит $$x=9$$ см. Тогда вторая сторона:

$$x+31=9+31=40$$ см.

2) Для уравнения $$x^2+px-42=0$$ известно, что корень $$x_1=7$$. По теореме Виета:

$$x_1x_2=-42$$

$$7x_2=-42$$

$$x_2=-6$$

Также сумма корней равна $$-p$$:

$$7+(-6)=1=-p$$

$$p=-1$$

Ответ

1) $$9$$ см и $$40$$ см. 2) $$p=-1$$, второй корень $$x_2=-6$$.