Упр.714 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. От прямоугольного листа бумаги, длина которого равна $$18\text{ см}$$, отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь оставшейся части прямоугольника составляет $$72\text{ см}^2$$. Какой была ширина листа бумаги?
2. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) $$-7$$ и $$-8$$; 2) $$5$$ и $$-0{,}4$$; 3) $$\frac{1}{2}$$ и $$\frac{2}{3}$$; 4) $$5-\sqrt{10}$$ и $$5+\sqrt{10}$$.

1. Пусть ширина листа бумаги равна $$x$$ см. Тогда длина оставшейся части прямоугольника равна $$18-x$$ см.

   По условию площадь оставшейся части равна $$72$$ см², значит:

   $$x(18-x)=72$$

   $$18x-x^2-72=0$$

   $$x^2-18x+72=0$$

   Найдём корни уравнения:

   $$D=18^2-4\cdot 72=324-288=36$$

   $$x_{1,2}=\frac{18\pm 6}{2}$$

   $$x_1=6,\quad x_2=12$$

   Так как ширина листа — это сторона отрезанного квадрата, получаем: $$x=6$$ см или $$x=12$$ см.

2. Составим квадратные уравнения по заданным корням. Для уравнения вида $$x^2+bx+c=0$$ выполняются формулы:

   $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c$$

   1) $$x_1=-7,\ x_2=-8$$

   $$x_1+x_2=-15,\qquad x_1x_2=56$$

   $$x^2+15x+56=0$$

   2) $$x_1=5,\ x_2=-0{,}4$$

   $$x_1+x_2=4{,}6,\qquad x_1x_2=-2$$

   $$x^2-4{,}6x-2=0$$

   Умножим на $$5$$, чтобы получить целые коэффициенты:

   $$5x^2-23x-10=0$$

   3) $$x_1=\frac12,\ x_2=\frac23$$

   $$x_1+x_2=\frac12+\frac23=\frac76,\qquad x_1x_2=\frac13$$

   $$x^2-\frac76x+\frac13=0$$

   Умножим на $$6$$:

   $$6x^2-7x+2=0$$

   4) $$x_1=5-\sqrt{10},\ x_2=5+\sqrt{10}$$

   $$x_1+x_2=10,\qquad x_1x_2=(5-\sqrt{10})(5+\sqrt{10})=25-10=15$$

   $$x^2-10x+15=0$$

Ответ

1) $$x=6$$ см или $$x=12$$ см; 2) $$x^2+15x+56=0$$; 3) $$5x^2-23x-10=0$$; 4) $$6x^2-7x+2=0$$; 5) $$x^2-10x+15=0$$.