Упр.713 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

От квадратного листа картона отрезали полоску в форме прямоугольника шириной $$3\text{ см}$$ и длиной, равной стороне квадрата. Площадь оставшейся части листа составляет $$40\text{ см}^2$$. Какой была длина стороны квадратного листа картона?
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) $$2$$ и $$5$$;
2) $$-\frac{1}{3}$$ и $$2$$;
3) $$-0{,}2$$ и $$-10$$;
4) $$2-\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$;
5) $$0$$ и $$6$$;
6) $$-\sqrt{7}$$ и $$\sqrt{7}$$.

Подробный ответ

Пусть сторона квадратного листа картона равна $$a$$ см. После того как отрезали полоску шириной $$3$$ см, осталась часть площадью $$40$$ см². Тогда

$$a(a-3)=40.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$a^2-3a-40=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-40)=9+160=169,$$

$$a=\frac{3\pm \sqrt{169}}{2}=\frac{3\pm 13}{2}.$$

Тогда

$$a_1=-5,\quad a_2=8.$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, берём $$a=8$$ см.

Составим квадратные уравнения с целыми коэффициентами по заданным корням.

Корни $$2$$ и $$5$$:
$$x^2-7x+10=0.$$
Корни $$-\frac13$$ и $$2$$:
$$\left(x+\frac13\right)(x-2)=0,$$
$$x^2-\frac53x-\frac23=0,$$
умножим на $$3$$:
$$3x^2-5x-2=0.$$
Корни $$-0{,}2$$ и $$-10$$:
$$x^2+10{,}2x+2=0,$$
умножим на $$5$$:
$$5x^2+51x+10=0.$$
Корни $$2-\sqrt3$$ и $$2+\sqrt3$$:
$$x^2-4x+1=0.$$
Корни $$0$$ и $$6$$:
$$x^2-6x=0.$$
Корни $$-\sqrt7$$ и $$\sqrt7$$:
$$x^2-7=0.$$