Упр.711 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {y = x + 3, x^2 — 2y = 9;
2) {x + y = 5, xy = 4;
3) {x — 4y = 2, xy + 2y = 8;
4) {x^2 + y^2 = 8, 3x + y = 4. Найдите коэффициенты b и c уравнения х2 + bх + c = 0, если его корнями являются числа:
1) -8 и 6;
2) 4 и 5.

Подробный ответ

$$ \begin{cases} y=x+3,\\ x^2-2y=9 \end{cases} $$
Подставим $$y=x+3$$ во второе уравнение:
$$ x^2-2(x+3)=9 $$
$$ x^2-2x-6-9=0 $$
$$ x^2-2x-15=0 $$
$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64 $$
$$ x_1=\frac{2-\sqrt{64}}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{2+\sqrt{64}}{2}=5 $$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$ y_1=-3+3=0,\qquad y_2=5+3=8 $$
$$ (-3;0),\ (5;8) $$
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=4 \end{cases} $$
Выразим $$y$$:
$$ y=5-x $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x(5-x)=4 $$
$$ x^2-5x+4=0 $$
$$ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=9 $$
$$ x_1=\frac{5-\sqrt{9}}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+\sqrt{9}}{2}=4 $$
Тогда:
$$ y_1=5-1=4,\qquad y_2=5-4=1 $$
$$ (1;4),\ (4;1) $$
$$ \begin{cases} x-4y=2,\\ xy+2y=8 \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x=4y+2 $$
Подставим во второе:
$$ (4y+2)y+2y=8 $$
$$ 4y^2+2y+2y-8=0 $$
$$ 4y^2+4y-8=0 $$
$$ y^2+y-2=0 $$
$$ D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9 $$
$$ y_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2}=1 $$
Найдём $$x$$:
$$ x_1=4\cdot(-2)+2=-6,\qquad x_2=4\cdot 1+2=6 $$
$$ (-6;-2),\ (6;1) $$
$$ \begin{cases} x^2+y^2=8,\\ 3x+y=4 \end{cases} $$
Выразим $$y$$:
$$ y=4-3x $$
Подставим в первое уравнение:
$$ x^2+(4-3x)^2=8 $$
$$ x^2+16-24x+9x^2-8=0 $$
$$ 10x^2-24x+8=0 $$
$$ 5x^2-12x+4=0 $$
$$ D=(-12)^2-4\cdot 5\cdot 4=64 $$
$$ x_1=\frac{12-\sqrt{64}}{10}=\frac{4}{10}=0{,}4,\qquad x_2=\frac{12+\sqrt{64}}{10}=2 $$
Тогда:
$$ y_1=4-3\cdot 0{,}4=2{,}8,\qquad y_2=4-3\cdot 2=-2 $$
$$ (0{,}4;2{,}8),\ (2;-2) $$
Для уравнения $$x^2+bx+c=0$$ по теореме Виета:
$$ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c $$
1) Если корни $$-8$$ и $$6$$, то
$$ -8+6=-b,\qquad (-8)\cdot 6=c $$
$$ b=2,\qquad c=-48 $$
2) Если корни $$4$$ и $$5$$, то
$$ 4+5=-b,\qquad 4\cdot 5=c $$
$$ b=-9,\qquad c=20 $$