Упр.709 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.
2. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:
   1. $$x^2-8x+12=0$$ числа 2 и 6;
   2. $$x^2+x-56=0$$ числа −7 и 8;
   3. $$x^2-13x+42=0$$ числа 5 и 8;
   4. $$x^2-20x-99=0$$ числа 9 и 11.

Пусть искомые последовательные натуральные числа — $$x$$ и $$x+1$$. Тогда по условию:

$$x(x+1)=89+x+(x+1).$$

Получаем:

$$x^2+x=2x+90$$

$$x^2-x-90=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-90)=1+360=361,$$

$$\sqrt{D}=19.$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 19}{2}.$$

$$x_1=\frac{1-19}{2}=-9,$$

$$x_2=\frac{1+19}{2}=10.$$

Так как числа натуральные, подходит $$x=10$$. Тогда второе число:

$$x+1=10+1=11.$$

Проверим пары чисел по теореме, обратной теореме Виета:

1. Для уравнения $$x^2-8x+12=0$$ числа $$2$$ и $$6$$:

   $$2+6=8,\qquad 2\cdot 6=12.$$

   Эти числа являются корнями уравнения.

2. Для уравнения $$x^2+x-56=0$$ числа $$-7$$ и $$8$$:

   $$-7+8=1,\qquad -7\cdot 8=-56.$$

   Эти числа не являются корнями уравнения.

3. Для уравнения $$x^2-13x+42=0$$ числа $$5$$ и $$8$$:

   $$5+8=13,\qquad 5\cdot 8=40.$$

   Эти числа не являются корнями уравнения.

4. Для уравнения $$x^2-20x-99=0$$ числа $$9$$ и $$11$$:

   $$9+11=20,\qquad 9\cdot 11=99.$$

   Эти числа не являются корнями уравнения.

Ответ

$$10$$ и $$11$$; 1) являются; 2) не являются; 3) не являются; 4) не являются.