Упр.707 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

• При каких значениях $$a$$ число $$\frac{1}{4}$$ является корнем уравнения $$a^2x^2+4ax-5=0$$?
• Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:
  1) $$x^2+6x-32=0$$;
  2) $$x^2-10x+4=0$$;
  3) $$2x^2-6x+3=0$$;
  4) $$10x^2+42x+25=0$$.

Подставим $$x=\frac14$$ в уравнение $$a^2x^2+4ax-5=0$$:

$$a^2\left(\frac14\right)^2+4a\cdot\frac14-5=0$$
$$\frac{a^2}{16}+a-5=0$$
$$a^2+16a-80=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=16^2-4\cdot1\cdot(-80)=256+320=576$$
$$\sqrt{D}=24$$
$$a=\frac{-16\pm24}{2}$$
$$a_1=4,\quad a_2=-20$$

Теперь найдём сумму и произведение корней по формулам Виета.

1. $$x^2+6x-32=0$$

   $$x_1+x_2=-6,\quad x_1x_2=-32$$

2. $$x^2-10x+4=0$$

   $$x_1+x_2=10,\quad x_1x_2=4$$

3. $$2x^2-6x+3=0$$
   $$x^2-3x+\frac32=0$$

   $$x_1+x_2=3,\quad x_1x_2=\frac32$$

4. $$10x^2+42x+25=0$$
   $$x^2+4{,}2x+2{,}5=0$$

   $$x_1+x_2=-4{,}2,\quad x_1x_2=2{,}5$$

Ответ

$$a=4,\,-20.$$

1) $$x_1+x_2=-6,\; x_1x_2=-32$$; 2) $$x_1+x_2=10,\; x_1x_2=4$$; 3) $$x_1+x_2=3,\; x_1x_2=\frac32$$; 4) $$x_1+x_2=-4{,}2,\; x_1x_2=2{,}5$$.