Упр.7.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x-1)/(x-a)=0 и x-1=0;
2) x(x-a)/(x-2)=0 и x=0;
3) (x-a)(x-3)/(x-2a)=0 и x-3=0;
4) (x+a)(x-4a)/(x-1)=0 и x-4a=0;
5) (x-a)(x-2a+1)/(x-1)=0 и (x-a)/(x-1)=0;
6) (a^2-1)x=a-1 и (x-1)/(x-a)=1;
7) (a^2-a)(x-1)=0 и 2ax+a^2-3a=0;
8) a(x-1)=0 и ax+a^2=2a?

Подробный ответ

$$\frac{x-1}{x-a}=0 \quad \text{и} \quad x-1=0$$

Из второго уравнения получаем $$x=1$$. Подставим в первое:
$$\frac{1-1}{1-a}=0.$$
Чтобы дробь была определена, нужно $$1-a\ne 0$$, то есть $$a\ne 1$$.

Значит, уравнения равносильны при $$a\ne 1$$.
$$\frac{x(x-a)}{x-2}=0 \quad \text{и} \quad x=0$$

Первое уравнение имеет корень $$x=0$$, если $$0\ne 2$$, что верно всегда. Но при $$x=0$$ числитель равен нулю, а знаменатель не должен обращаться в нуль, значит нужно $$0\ne 2$$ — ограничение не мешает.

Чтобы первое уравнение имело только корень $$x=0$$, второй множитель числителя не должен давать дополнительный корень:
$$x-a=0 \Rightarrow x=a.$$
Тогда лишний корень отсутствует, если $$a=0$$ или $$a=2$$:

при $$a=0$$ числитель $$x^2$$, корень только $$x=0$$;

при $$a=2$$ числитель $$x(x-2)$$, но $$x=2$$ не подходит из-за знаменателя.

Значит, уравнения равносильны при $$a=0$$ или $$a=2$$.
$$\frac{(x-a)(x-3)}{x-2a}=0 \quad \text{и} \quad x-3=0$$

Из второго уравнения $$x=3$$. Подставим в первое:
$$\frac{(3-a)(3-3)}{3-2a}=0.$$
Чтобы это значение было допустимым, нужно $$3-2a\ne 0$$, то есть $$a\ne \frac32$$.

Кроме того, первое уравнение не должно иметь лишний корень $$x=a$$. Это возможно, если $$a=3$$, тогда оба уравнения имеют один и тот же корень $$x=3$$.

Следовательно, $$a=3$$.
$$\frac{(x+a)(x-4a)}{x-1}=0 \quad \text{и} \quad x-4a=0$$

Из второго уравнения $$x=4a$$. Подставим в первое:
$$\frac{(4a+a)(4a-4a)}{4a-1}=0.$$
Чтобы корень был допустим, нужно $$4a-1\ne 0$$, то есть $$a\ne \frac14$$.

Чтобы первое уравнение не имело лишнего корня $$x=-a$$, нужно, чтобы он совпал с $$x=4a$$:
$$-a=4a \Rightarrow 5a=0 \Rightarrow a=0.$$
При $$a=0$$ оба уравнения имеют корень $$x=0$$.

Значит, $$a=0$$.
$$\frac{(x-a)(x-2a+1)}{x-1}=0 \quad \text{и} \quad \frac{x-a}{x-1}=0$$

Второе уравнение имеет корень $$x=a$$ при условии $$a\ne 1$$.

Первое уравнение имеет корни $$x=a$$ и $$x=2a-1$$, при этом $$x\ne 1$$.
Чтобы уравнения были равносильны, второй корень должен совпасть с первым:
$$2a-1=a \Rightarrow a=1.$$
Но при $$a=1$$ оба уравнения не имеют решений, так как знаменатель обращается в нуль при $$x=1$$.

Следовательно, уравнения равносильны при $$a=1$$.
$$(a^2-1)x=a-1 \quad \text{и} \quad \frac{x-1}{x-a}=1$$

Рассмотрим первое уравнение:
$$a^2-1=0 \Rightarrow a=\pm 1.$$

Если $$a=1$$, получаем $$0\cdot x=0$$, то есть любое $$x$$.
Если $$a=-1$$, получаем $$0\cdot x=-2$$, решений нет.

Рассмотрим второе уравнение:
$$\frac{x-1}{x-a}=1 \Rightarrow x-1=x-a \Rightarrow a=1,$$
но при $$a=1$$ нужно $$x\ne 1$$, и тогда решений бесконечно много.

Чтобы уравнения были равносильны, подходит $$a=-1$$: тогда оба уравнения решений не имеют.
$$(a^2-a)(x-1)=0 \quad \text{и} \quad 2ax+a^2-3a=0$$

Первое уравнение:
$$a^2-a=a(a-1)=0.$$
Если $$a=0$$ или $$a=1$$, то первое уравнение верно при любом $$x$$.

Второе уравнение:
$$2ax=3a-a^2.$$
Если $$a=0$$, то $$0=0$$, то есть любое $$x$$.
Если $$a=1$$, то
$$2x=2 \Rightarrow x=1.$$

Равносильность выполняется только при $$a=0$$.
$$a(x-1)=0 \quad \text{и} \quad ax+a^2=2a$$

Первое уравнение:
$$ax=a.$$
Если $$a=0$$, то любое $$x$$.
Если $$a\ne 0$$, то $$x=1$$.

Второе уравнение:
$$ax=2a-a^2.$$
Если $$a=0$$, то любое $$x$$.
Если $$a\ne 0$$, то
$$x=\frac{2a-a^2}{a}=2-a.$$
Чтобы уравнения были равносильны, нужно
$$2-a=1 \Rightarrow a=1.$$

Значит, $$a=0$$ или $$a=1$$.