Упр.7.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x+3)(x-8)/(x+b)=0;
2) (x+2b)(x-4b)/(x-2)=0;
3) (x-2)(x+1)/(x+b)(x-2b) =0;
4) (x+b)(x-5b)/(x-3)(x+5) =0?

1. $$\frac{(x+3)(x-8)}{x+b}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\begin{cases} x+3=0,\\ x-8=0,\\ x+b\ne 0. \end{cases}$$

   Отсюда $$x=-3$$ или $$x=8$$, при этом $$x\ne -b$$.

   Чтобы решение было единственным, один из корней должен быть запрещён. Тогда:

   • если $$-b=-3$$, то $$b=3$$ и остаётся $$x=8$$;
   • если $$-b=8$$, то $$b=-8$$ и остаётся $$x=-3$$.

   Значит, $$b=-8$$ или $$b=3$$.

2. $$\frac{(x+2b)(x-4b)}{x-2}=0$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x+2b=0,\\ x-4b=0,\\ x\ne 2. \end{cases}$$

   Корни числителя: $$x=-2b$$ и $$x=4b$$.

   Для единственного решения один из них должен совпасть с $$2$$, а другой — не совпасть:

   • $$-2b=2 \Rightarrow b=-1$$, тогда $$x=4b=-4$$;
   • $$4b=2 \Rightarrow b=\frac12$$, тогда $$x=-2b=-1$$;
   • если $$b=0$$, то оба корня совпадают: $$x=0$$.

   Значит, $$b=-1$$, $$b=0$$ или $$b=\frac12$$.

3. $$\frac{(x-2)(x+1)}{(x+b)(x-2b)}=0$$

   Имеем

   $$\begin{cases} x-2=0,\\ x+1=0,\\ x+b\ne 0,\\ x-2b\ne 0. \end{cases}$$

   Корни числителя: $$x=2$$ и $$x=-1$$.

   Чтобы решение было единственным, один из корней должен быть запрещён:

   • если $$-b=2$$, то $$b=-2$$;
   • если $$2b=2$$, то $$b=1$$;
   • если $$-b=-1$$, то $$b=1$$;
   • если $$2b=-1$$, то $$b=-\frac12$$.

   Проверяем:

   • при $$b=-2$$ остаётся только $$x=-1$$;
   • при $$b=-\frac12$$ остаётся только $$x=2$$.

   Значит, $$b=-2$$ или $$b=-\frac12$$.

4. $$\frac{(x+b)(x-5b)}{(x-3)(x+5)}=0$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x+b=0,\\ x-5b=0,\\ x\ne 3,\\ x\ne -5. \end{cases}$$

   Корни числителя: $$x=-b$$ и $$x=5b$$.

   Для единственного решения один из них должен совпасть с запрещённым значением:

   • $$-b=3 \Rightarrow b=-3$$;
   • $$-b=-5 \Rightarrow b=5$$;
   • $$5b=3 \Rightarrow b=\frac35$$;
   • $$5b=-5 \Rightarrow b=-1$$.

   Проверяем, когда остаётся ровно один допустимый корень:

   • при $$b=-3$$ остаётся $$x=-15$$;
   • при $$b=-1$$ остаётся $$x=1$$;
   • при $$b=0$$ остаётся $$x=0$$;
   • при $$b=\frac35$$ остаётся $$x=-\frac35$$;
   • при $$b=5$$ остаётся $$x=25$$.

   Во всех этих случаях решение единственно.

Ответ

1) $$b=-8$$ или $$b=3$$; 2) $$b=-1$$, $$b=0$$ или $$b=\frac12$$; 3) $$b=-2$$ или $$b=-\frac12$$; 4) $$b=-3$$, $$b=-1$$, $$b=0$$, $$b=\frac35$$ или $$b=5$$.