Упр.7.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x-1)/(x-a)=0;
2) (x+1)(x-5)/(x-a)=0;
3) (x-a)(x+3a)/(x-3)=0;
4) (x-2)(x-a)/(x-2a)=0;
5) (x-1)(x+3)/(x-a)(x+3a) =0;
6) (x^2-a^2)/(x+1)(x+2) =0?

1. $$\frac{x-1}{x-a}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$x-1=0,\quad x-a\ne 0$$
   $$x=1,\quad a\ne 1$$

   Чтобы решение было единственным, нужно, чтобы оно существовало. Значит,

   при $$a\ne 1$$.

2. $$\frac{(x+1)(x-5)}{x-a}=0$$

   Нули числителя:

   $$x=-1,\quad x=5$$

   Ограничение:

   $$x-a\ne 0$$

   Чтобы уравнение имело единственное решение, один из корней числителя должен быть запрещён знаменателем:

   $$a=-1 \quad \text{или} \quad a=5$$

3. $$\frac{(x-a)(x+3a)}{x-3}=0$$

   Нули числителя:

   $$x=a,\quad x=-3a$$

   Ограничение:

   $$x\ne 3$$

   Единственное решение получится, если один из корней числителя совпадёт с числом $$3$$, а другой не совпадёт с ним.

   Если $$a=3$$, то корни: $$x=3$$ и $$x=-9$$, остаётся один корень.

   Если $$-3a=3$$, то $$a=-1$$, корни: $$x=-1$$ и $$x=3$$, остаётся один корень.

   Если $$a=0$$, то оба корня совпадают: $$x=0$$, и это одно решение.

   Значит, $$a=-1,\ a=0,\ a=3$$.

4. $$\frac{(x-2)(x-a)}{x-2a}=0$$

   Нули числителя:

   $$x=2,\quad x=a$$

   Ограничение:

   $$x\ne 2a$$

   Единственное решение будет в случаях:

   • $$a=0$$, тогда корни $$x=2$$ и $$x=0$$, а при $$x=0$$ знаменатель не обращается в нуль;
   • $$a=1$$, тогда корни $$x=2$$ и $$x=1$$, оба допустимы;
   • $$a=2$$, тогда корни совпадают: $$x=2$$, и это одно решение.

   Значит, $$a=0,\ a=1,\ a=2$$.

5. $$\frac{(x-1)(x+3)}{(x-a)(x+3a)}=0$$

   Нули числителя:

   $$x=1,\quad x=-3$$

   Ограничения:

   $$x\ne a,\quad x\ne -3a$$

   Чтобы решение было единственным, один из корней числителя должен быть запрещён знаменателем:

   • если $$a=-3$$, то $$x=1$$ запрещён, а $$x=-3$$ остаётся;
   • если $$a=-\frac13$$, то $$x=-3$$ запрещён, а $$x=1$$ остаётся.

   Ответ: $$a=-3$$ или $$a=-\frac13$$.

6. $$\frac{x^2-a^2}{(x+1)(x+2)}=0$$

   Разложим числитель:

   $$x^2-a^2=(x-a)(x+a)$$

   Тогда

   $$\frac{(x-a)(x+a)}{(x+1)(x+2)}=0$$

   Нули числителя:

   $$x=a,\quad x=-a$$

   Ограничения:

   $$x\ne -1,\quad x\ne -2$$

   Единственное решение получается в случаях:

   • $$a=0$$, тогда $$x=0$$ — один корень;
   • $$a=1$$, тогда корни $$x=1$$ и $$x=-1$$, но $$x=-1$$ запрещён, остаётся $$x=1$$;
   • $$a=-1$$, тогда корни $$x=-1$$ и $$x=1$$, но $$x=-1$$ запрещён, остаётся $$x=1$$;
   • $$a=2$$, тогда корни $$x=2$$ и $$x=-2$$, но $$x=-2$$ запрещён, остаётся $$x=2$$;
   • $$a=-2$$, тогда корни $$x=-2$$ и $$x=2$$, но $$x=-2$$ запрещён, остаётся $$x=2$$.

   Значит, $$a=-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$.

Ответ

1) $$a\ne 1$$;

2) $$a=-1$$ или $$a=5$$;

3) $$a=-1,\ 0,\ 3$$;

4) $$a=0,\ 1,\ 2$$;

5) $$a=-3$$ или $$a=-\frac13$$;

6) $$a=-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$.