Упр.7.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (bx+3)/(x+2)=b-1/(x-1);
2) (bx^2-2)/(x^2-4)=b+1+(1-x)/(x+2);
3) 1/(x+1)+(2b-b^2)/(x+1)(x-2b) =b/(2b-x);
4) b^2/(x+4)-(3b^2+b+39)/(x+4)(3-x) =9/(x-3).

1. $$\frac{bx+3}{x+2}=b-\frac1{x-1}$$

   ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne 1.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{bx+3}{x+2}-b+\frac1{x-1}=0$$

   $$\frac{(bx+3)(x-1)-b(x+2)(x-1)+(x+2)}{(x+2)(x-1)}=0$$

   $$bx^2-bx+3x-3-bx^2+bx-2b+x+2=0$$

   $$4x-2bx+2b-1=0$$

   $$x(4-2b)=1-2b$$

   Если $$4-2b=0,$$ то $$b=2,$$ и получаем противоречие: $$0x=-3.$$

   Если $$b\ne 2,$$ то

   $$x=\frac{1-2b}{4-2b}.$$

   Проверка ОДЗ даёт, что при $$b=\frac32$$ получается $$x=-2,$$ а при $$b=2$$ решений нет.

2. $$\frac{bx^2-2}{x^2-4}=b+1+\frac{1-x}{x+2}$$

   ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -2.$$

   Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{bx^2-2}{(x-2)(x+2)}-b-1-\frac{1-x}{x+2}=0$$

   $$\frac{bx^2-2-b(x^2-4)-(x^2-4)-(1-x)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=0$$

   $$4b+4-3x=0$$

   $$x=\frac{4b+4}{3}.$$

   Проверяем ОДЗ:

   $$\frac{4b+4}{3}\ne 2,\qquad \frac{4b+4}{3}\ne -2.$$

   Отсюда $$b\ne \frac12$$ и $$b\ne -\frac52.$$

3. $$\frac1{x+1}+\frac{2b-b^2}{(x+1)(x-2b)}=\frac{b}{2b-x}$$

   ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 2b.$$

   Заметим, что $$\frac{b}{2b-x}=-\frac{b}{x-2b}.$$ Тогда

   $$\frac1{x+1}+\frac{2b-b^2}{(x+1)(x-2b)}+\frac{b}{x-2b}=0$$

   $$\frac{x-b^2+bx+b}{(x+1)(x-2b)}=0$$

   $$x(1+b)=b^2-b.$$

   Если $$b=-1,$$ то получаем противоречие: $$0x=2.$$

   Если $$b\ne -1,$$ то

   $$x=\frac{b^2-b}{1+b}.$$

   Проверка ОДЗ даёт, что при $$b=0$$ или $$b=-3$$ решений нет.

4. $$\frac{b^2}{x+4}-\frac{3b^2+b+39}{(x+4)(3-x)}=\frac9{x-3}$$

   ОДЗ: $$x\ne -4,\; x\ne 3.$$

   Так как $$\frac9{x-3}=-\frac9{3-x},$$ получаем

   $$\frac{b^2(3-x)-(3b^2+b+39)}{(x+4)(3-x)}+\frac9{3-x}=0$$

   $$\frac{-xb^2-b-39+9(x+4)}{(x+4)(3-x)}=0$$

   $$-xb^2+9x-b-3=0$$

   $$x(9-b^2)=b+3.$$

   Если $$b=\pm 3,$$ то:

   • при $$b=3$$ получаем противоречие: $$0x=6$$, решений нет;
   • при $$b=-3$$ получаем $$0x=0,$$ значит $$x$$ — любое число, кроме $$-4$$ и $$3.$$

   Если $$b\ne \pm 3,$$ то

   $$x=\frac{b+3}{9-b^2}=\frac1{3-b}.$$

   Проверка ОДЗ даёт, что при $$b=\frac{13}{4}$$ и $$b=\frac83$$ решений нет.

Ответ

1) при $$b=2$$ или $$b=\frac32$$ корней нет; при остальных $$b$$
$$x=\frac{1-2b}{4-2b}$$;
2) при $$b=\frac12$$ или $$b=-\frac52$$ корней нет; при остальных $$b$$
$$x=\frac{4b+4}{3}$$;
3) при $$b=-3,-1,0$$ корней нет; при остальных $$b$$
$$x=\frac{b^2-b}{1+b}$$;
4) при $$b=3,\frac{13}{4},\frac83$$ корней нет; при $$b=-3$$
$$x\ne -4,\; x\ne 3$$; при остальных $$b$$
$$x=\frac1{3-b}$$.