Упр.7.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) (x-2)/(x-a)=a-1;
2) (ax-2)/(x-1)=a+1/x;
3) (ax^2-3)/(x^2-1)=a+2/(x-1);
4) (3x+1)/(x-1)(x+a) +1/(x+a)=3/(x-1);
5) a/(x+3)+3/(x+2)=(a^2+2a)/(x+2)(x+3) ;
6) (a^2-1)/(x-2)-(a^3-x+10)/(x+a)(x-2) =4/(x+a).
$$\frac{x-2}{x-a}=a-1$$
$$x-2=(a-1)(x-a)$$
$$x-2=ax-a^2-x+a$$
$$x(2-a)=a^2-a+2$$Если $$a=2$$, то получаем $$0x=0$$, значит, подходит любое $$x$$, кроме $$x=2$$.
Если $$a\ne 2$$, то
$$x=\frac{a^2-a+2}{2-a}=1+a.$$Проверка ОДЗ: $$x\ne a$$. Для $$x=1+a$$ это даёт $$1+a\ne a$$, то есть $$1\ne 0$$, условие выполнено.
$$\frac{ax-2}{x-1}=a+\frac1x$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\ x\ne 1$$.
Умножим на $$x(x-1)$$:
$$x(ax-2)-ax(x-1)-(x-1)=0$$
$$ax^2-2x-ax^2+ax-x+1=0$$
$$x(a-3)+1=0.$$Если $$a=3$$, то получаем $$1=0$$, корней нет.
Если $$a\ne 3$$, то
$$x=\frac{-1}{a-3}=\frac1{3-a}.$$Проверка ОДЗ:
$$\frac1{3-a}\ne 0$$ — верно всегда, а
$$\frac1{3-a}\ne 1 \iff a\ne 2.$$$$\frac{ax^2-3}{x^2-1}=a+\frac2{x-1}$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\ x\ne -1$$.
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{ax^2-3-a(x^2-1)-2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=0$$
$$\frac{a-2x-5}{(x-1)(x+1)}=0.$$Тогда
$$a-2x-5=0,$$
$$x=\frac{a-5}{2}.$$Проверка ОДЗ:
$$\frac{a-5}{2}\ne 1 \iff a\ne 7,$$
$$\frac{a-5}{2}\ne -1 \iff a\ne 3.$$$$\frac{3x+1}{(x-1)(x+a)}+\frac1{x+a}=\frac3{x-1}$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\ x\ne -a$$.
Умножим на $$ (x-1)(x+a) $$:
$$3x+1+(x-1)-3(x+a)=0$$
$$x-3a=0.$$Значит,
$$x=3a.$$Проверка ОДЗ:
$$3a\ne 1 \iff a\ne \frac13,$$
$$3a\ne -a \iff a\ne 0.$$$$\frac{a}{x+3}+\frac{3}{x+2}=\frac{a^2+2a}{(x+2)(x+3)}$$
ОДЗ: $$x\ne -2,\ x\ne -3$$.
Умножим на $$ (x+2)(x+3) $$:
$$a(x+2)+3(x+3)=a^2+2a$$
$$ax+2a+3x+9=a^2+2a$$
$$x(a+3)=a^2-9.$$Если $$a=-3$$, то получаем $$0x=0$$, значит, подходят все $$x$$, кроме $$x=-2$$ и $$x=-3$$.
Если $$a\ne -3$$, то
$$x=\frac{a^2-9}{a+3}=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3}=a-3.$$Проверка ОДЗ:
$$a-3\ne -2 \iff a\ne 1,$$
$$a-3\ne -3 \iff a\ne 0.$$$$\frac{a^2-1}{x-2}-\frac{a^3-x+10}{(x+a)(x-2)}=\frac4{x+a}$$
ОДЗ: $$x\ne 2,\ x\ne -a$$.
Умножим на $$ (x+a)(x-2) $$:
$$ (a^2-1)(x+a)-(a^3-x+10)-4(x-2)=0 $$
$$ a^2x+a^3-x-a-a^3+x-10-4x+8=0 $$
$$ x(a^2-4)=a+2.$$Если $$a^2-4=0$$, то $$a=\pm 2$$.
При $$a=2$$: $$0x=4$$, корней нет.
При $$a=-2$$: $$0x=0$$, значит, подходят все $$x$$, кроме $$x=2$$.Если $$a\ne 2$$ и $$a\ne -2$$, то
$$x=\frac{a+2}{a^2-4}=\frac{a+2}{(a-2)(a+2)}=\frac1{a-2}.$$Проверка ОДЗ:
$$\frac1{a-2}\ne 2 \iff a\ne \frac52,$$
$$\frac1{a-2}\ne -a \iff a\ne 1.$$
Ответ
1) при $$a=2$$ — любое $$x\ne 2$$; при $$a\ne 2$$, $$x=1+a$$.
2) при $$a=3$$ корней нет; при $$a\ne 2,\ a\ne 3$$, $$x=\frac1{3-a}$$.
3) при $$a=3$$ или $$a=7$$ корней нет; при $$a\ne 3,\ a\ne 7$$, $$x=\frac{a-5}{2}$$.
4) при $$a=0$$ или $$a=\frac13$$ корней нет; при $$a\ne 0,\ a\ne \frac13$$, $$x=3a$$.
5) при $$a=-3$$ — любое $$x\ne -2,\ -3$$; при $$a=0$$ или $$a=1$$ корней нет; при $$a\ne -3,\ a\ne 0,\ a\ne 1$$, $$x=a-3$$.
6) при $$a=2$$ или $$a=1$$ или $$a=\frac52$$ корней нет; при $$a=-2$$ — любое $$x\ne 2$$; при $$a\ne -2,\ a\ne 1,\ a\ne 2,\ a\ne \frac52$$, $$x=\frac1{a-2}$$.
