Упр.7.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x-4)/(x+b)=0 и x-4=0;
2) (x-1)(x+b)/(x-3)=0 и x-1=0;
3) (x+b)(x-2b)/(x-3b)=0 и (x+b)/(x-3b)=0;
4) (x-b)(x-3b+4)/(x-2)=0 и (x-b)/(x-2)=0;
5) (b^2-4)(x+2)=0 и bx+2b=4-b^2?

1. $$\frac{x-4}{x+b}=0 \quad \text{и} \quad x-4=0.$$

   Из второго уравнения получаем $$x=4.$$

   Чтобы первое уравнение имело тот же корень, нужно, чтобы при $$x=4$$ знаменатель не обращался в нуль:

   $$4+b\ne 0 \Rightarrow b\ne -4.$$

   Ответ: $$b\ne -4.$$

2. $$\frac{(x-1)(x+b)}{x-3}=0 \quad \text{и} \quad x-1=0.$$

   Второе уравнение даёт $$x=1.$$

   Первое уравнение имеет корни $$x=1$$ и $$x=-b,$$ если они не обращают знаменатель в нуль:

   $$x\ne 3.$$

   Чтобы уравнения были равносильны, второй корень должен либо отсутствовать, либо совпадать с $$1.$$

   1) Если $$-b=1,$$ то $$b=-1,$$ и оба уравнения имеют единственный корень $$x=1.$$

   2) Если $$-b\ne 1,$$ то лишний корень должен исчезнуть, то есть $$x=-b$$ не должен быть допустимым корнем. Это возможно при $$-b=3,$$ но тогда $$x=3$$ не подходит из-за знаменателя, значит корень не появляется.

   Следовательно, $$b=-3$$ или $$b=-1.$$

   Ответ: $$b=-3$$ или $$b=-1.$$

3. $$\frac{(x+b)(x-2b)}{x-3b}=0 \quad \text{и} \quad \frac{x+b}{x-3b}=0.$$

   Второе уравнение даёт корень $$x=-b,$$ если $$-b\ne 3b,$$ то есть $$b\ne 0.$$

   Первое уравнение даёт корни $$x=-b$$ и $$x=2b,$$ если они допустимы.

   Чтобы уравнения были равносильны, лишний корень $$x=2b$$ должен совпасть с $$x=-b$$:

   $$2b=-b \Rightarrow 3b=0 \Rightarrow b=0.$$

   При $$b=0$$ оба уравнения корней не имеют, значит они равносильны.

   Ответ: $$b=0.$$

4. $$\frac{(x-b)(x-3b+4)}{x-2}=0 \quad \text{и} \quad \frac{x-b}{x-2}=0.$$

   Второе уравнение имеет корень $$x=b,$$ если $$b\ne 2.$$

   Первое уравнение имеет корни $$x=b$$ и $$x=3b-4,$$ если они допустимы.

   Чтобы уравнения были равносильны, лишний корень должен исчезнуть. Это возможно, если

   $$3b-4=2 \Rightarrow 3b=6 \Rightarrow b=2,$$

   но при $$b=2$$ корень $$x=b$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, оба уравнения корней не имеют и они равносильны.

   Ответ: $$b=2.$$

5. $$\left(b^2-4\right)(x+2)=0 \quad \text{и} \quad bx+2b=4-b^2.$$

   Рассмотрим первое уравнение.

   Если $$b^2-4\ne 0,$$ то

   $$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$

   Если $$b^2-4=0,$$ то $$b=\pm 2,$$ и первое уравнение верно при любом $$x.$$

   Рассмотрим второе уравнение:

   $$b(x+2)=4-b^2.$$

   Если $$b\ne 0,$$ то

   $$x=\frac{4-b^2}{b}-2.$$

   Проверим случаи:

   • при $$b=2$$ получаем $$2x+4=0 \Rightarrow x=-2$$;
   • при $$b=-2$$ получаем $$-2x-4=0 \Rightarrow x=-2.$$

   Но при $$b=\pm 2$$ первое уравнение имеет бесконечно много решений, а второе — только одно, значит равносильности нет.

   При $$b\ne \pm 2$$ первое уравнение даёт $$x=-2,$$ а второе —

   $$x=\frac{4-b^2}{b}-2,$$

   и для равносильности нужно, чтобы это значение было равно $$-2,$$ то есть

   $$\frac{4-b^2}{b}-2=-2 \Rightarrow 4-b^2=0 \Rightarrow b=\pm 2,$$

   что уже не подходит.

   Следовательно, таких значений $$b$$ не существует.

   Ответ: таких значений $$b$$ не существует.