Упр.7.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x-a)/(x-1)=0; 2) (x+2)/(x-a)=0; 3) a(x-1)/(x-1)=0;
4) a(x-a)/(x-3)=0; 5) (x-2a)/(x+a)=0; 6) a(x-4)/(x-a)=0.

1. $$\frac{x-a}{x-1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\begin{cases} x-a=0,\\ x-1\ne 0. \end{cases}$$

   Отсюда $$x=a$$, но при этом $$a\ne 1$$.

   Если $$a=1$$, то корней нет; если $$a\ne 1$$, то $$x=a$$.

2. $$\frac{x+2}{x-a}=0$$

   Получаем систему:

   $$\begin{cases} x+2=0,\\ x-a\ne 0. \end{cases}$$

   Тогда $$x=-2$$, но нужно $$-2\ne a$$, то есть $$a\ne -2$$.

   Если $$a=-2$$, то корней нет; если $$a\ne -2$$, то $$x=-2$$.

3. $$\frac{a(x-1)}{x-1}=0$$

   Область определения: $$x\ne 1$$.

   Рассмотрим случаи:

   • если $$a=0$$, то числитель равен нулю при любом $$x$$, кроме $$x=1$$;
   • если $$a\ne 0$$, то из $$a(x-1)=0$$ получаем $$x-1=0$$, то есть $$x=1$$, но это не подходит.

   Значит, если $$a=0$$, то $$x$$ — любое число, кроме $$1$$; если $$a\ne 0$$, то корней нет.

4. $$\frac{a(x-a)}{x-3}=0$$

   Требуется:

   $$\begin{cases} a(x-a)=0,\\ x\ne 3. \end{cases}$$

   Если $$a=0$$, то числитель равен нулю при любом $$x\ne 3$$.

   Если $$a\ne 0$$, то $$x-a=0$$, значит $$x=a$$. Это подходит только при $$a\ne 3$$.

   Итак, если $$a=0$$, то $$x$$ — любое число, кроме $$3$$; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 3$$, то $$x=a$$; если $$a=3$$, то корней нет.

5. $$\frac{x-2a}{x+a}=0$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x-2a=0,\\ x+a\ne 0. \end{cases}$$

   Из первого уравнения получаем $$x=2a$$. Проверим знаменатель:

   $$2a+a\ne 0 \;\Rightarrow\; 3a\ne 0 \;\Rightarrow\; a\ne 0.$$

   Если $$a=0$$, то корней нет; если $$a\ne 0$$, то $$x=2a$$.

6. $$\frac{a(x-4)}{x-a}=0$$

   Необходимо:

   $$\begin{cases} a(x-4)=0,\\ x\ne a. \end{cases}$$

   Если $$a=0$$, то числитель равен нулю при любом $$x\ne 0$$.

   Если $$a\ne 0$$, то $$x-4=0$$, значит $$x=4$$. Это подходит, если $$4\ne a$$.

   Следовательно, если $$a=0$$, то $$x$$ — любое число, кроме $$0$$; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 4$$, то $$x=4$$; если $$a=4$$, то корней нет.

Ответ

1) если $$a=1$$, то корней нет; если $$a\ne 1$$, то $$x=a$$;
2) если $$a=-2$$, то корней нет; если $$a\ne -2$$, то $$x=-2$$;
3) если $$a=0$$, то $$x$$ — любое число, кроме $$1$$; если $$a\ne 0$$, то корней нет;
4) если $$a=0$$, то $$x$$ — любое число, кроме $$3$$; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 3$$, то $$x=a$$; если $$a=3$$, то корней нет;
5) если $$a=0$$, то корней нет; если $$a\ne 0$$, то $$x=2a$$;
6) если $$a=0$$, то $$x$$ — любое число, кроме $$0$$; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 4$$, то $$x=4$$; если $$a=4$$, то корней нет.