Упр.694 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Какое из данных уравнений имеет два корня: 1) $$x^2+4x+8=0$$; 2) $$3x^2-4x-1=0$$; 3) $$4x^2-12x+9=0$$; 4) $$2x^2-9x+15=0$$?
2. Для каждого значения $$a$$ решите уравнение: 1) $$x^2-(2a-b)x-3a^2+5a=0$$; 2) $$x^2+(3a-4)x-12a=0$$; 3) $$ax^2-(a+1)x+1=0$$.

1) $$x^2-(2a-5)x-3a^2+5a=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a-5)^2-4\cdot 1\cdot(-3a^2+5a)=4a^2-20a+25+12a^2-20a=16a^2-40a+25=(4a-5)^2.$$

Тогда корни:

$$x_{1,2}=\frac{2a-5\pm(4a-5)}{2}.$$

$$x_1=\frac{2a-5+4a-5}{2}=3a-5,\qquad x_2=\frac{2a-5-(4a-5)}{2}=-a.$$

Ответ: $$x=3a-5$$ и $$x=-a$$.

2) $$x^2+(3a-4)x-12a=0$$

Дискриминант:

$$D=(3a-4)^2-4\cdot 1\cdot(-12a)=9a^2-24a+16+48a=9a^2+24a+16=(3a+4)^2.$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{-(3a-4)\pm(3a+4)}{2}.$$

$$x_1=\frac{-3a+4+3a+4}{2}=4,\qquad x_2=\frac{-3a+4-(3a+4)}{2}=-3a.$$

Ответ: $$x=4$$ и $$x=-3a$$.

3) $$ax^2-(a+1)x+1=0$$

Если $$a=0$$, получаем линейное уравнение:

$$-x+1=0,\qquad x=1.$$

Если $$a\ne 0$$, найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-1)}{2a}.$$

$$x_1=\frac{a+1+a-1}{2a}=1,\qquad x_2=\frac{a+1-(a-1)}{2a}=\frac1a.$$

При $$a=1$$ оба корня совпадают: $$x=1$$.

Ответ

1) $$x=3a-5,\; x=-a$$; 2) $$x=4,\; x=-3a$$; 3) при $$a\ne 0$$: $$x=1,\; x=\frac1a$$, при $$a=0$$: $$x=1$$.