Упр.669 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$m$$: 1) число $$2$$ является корнем уравнения $$x^2+mx-6=0$$; 2) число $$-3$$ является корнем уравнения $$2x^2-7x+m=0$$; 3) число $$\frac{1}{7}$$ является корнем уравнения $$m^2x^2+14x-3=0$$?
2. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна $$365$$. Найдите эти числа.

1. 1) Подставим $$x=2$$ в уравнение $$x^2+mx-6=0$$:

   $$2^2+2m-6=0 \\ 4+2m-6=0 \\ 2m=2 \\ m=1$$

2. 2) Подставим $$x=-3$$ в уравнение $$2x^2-7x+m=0$$:

   $$2(-3)^2-7(-3)+m=0 \\ 18+21+m=0 \\ m=-39$$

3. 3) Подставим $$x=\frac17$$ в уравнение $$m^2x^2+14x-3=0$$:

   $$m^2\left(\frac17\right)^2+14\cdot\frac17-3=0 \\ \frac{m^2}{49}+2-3=0 \\ \frac{m^2}{49}-1=0 \\ \frac{m^2}{49}=1 \\ m^2=49 \\ m=\pm 7$$

4. Пусть два последовательных натуральных числа — это $$x$$ и $$x+1$$. Тогда:

   $$x^2+(x+1)^2=365$$

   $$x^2+x^2+2x+1=365 \\ 2x^2+2x-364=0 \\ x^2+x-182=0$$

   Найдём корни:

   $$D=1+4\cdot182=729,\quad \sqrt{D}=27$$

   $$x=\frac{-1\pm27}{2}$$

   $$x_1=\frac{26}{2}=13,\quad x_2=\frac{-28}{2}=-14$$

   Так как числа натуральные, подходит $$x=13$$. Тогда второе число равно $$14$$.

Ответ

1) $$m=1$$; 2) $$m=-39$$; 3) $$m=\pm 7$$; 4) $$13$$ и $$14$$.