Упр.666 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Докажите, что числа 2 — корень 3 и 2 + корень 3 являются корнями уравнения x2 — 4x + 1 = 0. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 см2, а одна из сторон на 9 см больше другой. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak8 666 827
1) Проверим, являются ли числа $$2-\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$ корнями уравнения $$x^2-4x+1=0$$.
Подставим $$x=2-\sqrt{3}$$:
$$ (2-\sqrt{3})^2-4(2-\sqrt{3})+1= 4-4\sqrt{3}+3-8+4\sqrt{3}+1=0. $$
Подставим $$x=2+\sqrt{3}$$:
$$ (2+\sqrt{3})^2-4(2+\sqrt{3})+1= 4+4\sqrt{3}+3-8-4\sqrt{3}+1=0. $$
Оба числа являются корнями уравнения.
2) Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая равна $$x+9$$ см. По условию площадь равна $$70$$ см2, значит:
$$ x(x+9)=70 $$
$$ x^2+9x-70=0. $$
Найдём корни:
$$ D=9^2-4\cdot 1\cdot(-70)=81+280=361, $$
$$ x=\frac{-9\pm \sqrt{361}}{2}=\frac{-9\pm 19}{2}. $$
Получаем:
$$ x_1=5,\qquad x_2=-14. $$
Отрицательное значение не подходит, значит, стороны прямоугольника равны $$5$$ см и $$14$$ см.
Периметр:
$$ P=2(5+14)=38. $$
Ответ
$$2-\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$ — корни уравнения; $$38$$ см.
