Упр.65 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата.
- Расстояние от села Вишневое до железнодорожной станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Время, за которое автобус преодолевает расстояние от села Вишневое до станции, составляет 45 мин, а время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 мин больше, причем скорость автомобиля на 12 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса и скорость легкового автомобиля.
1) Сумма чисел на сторонах квадрата
Пусть на сторонах квадрата записаны числа $$a, b, c, d.$$ Тогда в вершинах записаны числа $$ab, bc, cd, ad.$$ По условию
$$ab+bc+cd+ad=55.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$b(a+c)+d(a+c)=55,$$
откуда
$$(a+c)(b+d)=55.$$
Так как $$a, b, c, d$$ — натуральные числа, число $$55$$ раскладывается на множители только так:
$$55=5\cdot 11.$$
Значит,
$$a+c=5,\quad b+d=11$$
или наоборот. Тогда
$$a+b+c+d=5+11=16.$$
2) Скорость автобуса и автомобиля
Пусть скорость автобуса равна $$x$$ км/ч, тогда скорость автомобиля равна $$x+12$$ км/ч.
Автобус едет $$45$$ мин, то есть $$\frac{45}{60}=\frac34$$ ч, значит, он проходит
$$\frac34x \text{ км}.$$
Автомобиль едет $$45+5=50$$ мин, то есть $$\frac{50}{60}=\frac56$$ ч, значит, он проходит
$$\frac56(x+12) \text{ км}.$$
По условию расстояние от села Яблоневое до станции на $$14$$ км больше, чем от села Вишневое до станции, поэтому
$$\frac56(x+12)-\frac34x=14.$$
Умножим уравнение на $$12$$:
$$10(x+12)-9x=168 \\ 10x+120-9x=168 \\ x=48.$$
Тогда скорость автомобиля:
$$48+12=60.$$
Ответ
$$16; \ 48\text{ км/ч и }60\text{ км/ч}.$$
