Упр.632 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: 1) $$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$$; 2) $$\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{7})^2}$$; 3) $$\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}$$; 4) $$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}$$.
2. Докажите, что числа $$2-\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$ являются корнями уравнения $$x^2-4x+1=0$$.

1) $$\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1.$$

2) $$\sqrt{(\sqrt6-\sqrt7)^2}=|\sqrt6-\sqrt7|=\sqrt7-\sqrt6.$$

3) $$\sqrt{(2\sqrt5-3)^2}=|2\sqrt5-3|=2\sqrt5-3.$$

4) $$\sqrt{(\sqrt3-2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt3)^2}=|\sqrt3-2|+|3-\sqrt3|.$$

Так как $$\sqrt3-2<0,$$ а $$3-\sqrt3>0,$$ то

$$|\sqrt3-2|=2-\sqrt3,\qquad |3-\sqrt3|=3-\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\sqrt{(\sqrt3-2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt3)^2}=2-\sqrt3+3-\sqrt3=5-2\sqrt3.$$

Докажем, что числа $$2-\sqrt3$$ и $$2+\sqrt3$$ являются корнями уравнения $$x^2-4x+1=0.$$

Подставим $$x=2-\sqrt3$$:

$$(2-\sqrt3)^2-4(2-\sqrt3)+1=0$$

$$4-4\sqrt3+3-8+4\sqrt3+1=0$$

$$0=0.$$

Подставим $$x=2+\sqrt3$$:

$$(2+\sqrt3)^2-4(2+\sqrt3)+1=0$$

$$4+4\sqrt3+3-8-4\sqrt3+1=0$$

$$0=0.$$

Значит, числа $$2-\sqrt3$$ и $$2+\sqrt3$$ действительно являются корнями уравнения $$x^2-4x+1=0.$$

Ответ

1) $$\sqrt2-1$$; 2) $$\sqrt7-\sqrt6$$; 3) $$2\sqrt5-3$$; 4) $$5-2\sqrt3$$. Числа $$2-\sqrt3$$ и $$2+\sqrt3$$ — корни уравнения $$x^2-4x+1=0$$.