Упр.624 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2025 года.
Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:
1) $$3$$ и $$\sqrt{68}$$;
2) $$\sqrt{7}$$ и $$\sqrt{77}$$;
3) $$-\sqrt{31}$$ и $$-2{,}3$$;
4) $$-\sqrt{42}$$ и $$2{,}8$$.
Задание учебника 2019 года.
Докажите, что:
1) число $$-1$$ не является корнем уравнения $$x^2-2x+3=0$$;
2) числа $$-\frac{1}{3}$$ и $$-3$$ являются корнями уравнения $$3x^2+10x+3=0$$;
3) числа $$-\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{2}$$ являются корнями уравнения $$3x^2-6=0$$.

Подробный ответ

Найдём приближённые значения корней:
$$\sqrt{68}\approx 8{,}24,\quad \sqrt{7}\approx 2{,}64,\quad \sqrt{77}\approx 8{,}77,\quad \sqrt{31}\approx 5{,}57,\quad \sqrt{42}\approx 6{,}48.$$
Тогда:
$$3<4<5<6<7<8<\sqrt{68},$$
значит, между числами $$3$$ и $$\sqrt{68}$$ расположены целые числа $$4, 5, 6, 7, 8$$.
$$\sqrt{7}<3<4<5<6<7<8<\sqrt{77},$$
значит, между числами $$\sqrt{7}$$ и $$\sqrt{77}$$ расположены целые числа $$3, 4, 5, 6, 7, 8$$.
$$-\sqrt{31}\approx -5{,}57,\quad -2{,}3,$$
поэтому
$$-\sqrt{31}<-5<-4<-3<-2{,}3,$$
значит, между числами $$-\sqrt{31}$$ и $$-2{,}3$$ расположены целые числа $$-5, -4, -3$$.
$$-\sqrt{42}\approx -6{,}48,\quad 2{,}8,$$
поэтому
$$-\sqrt{42}<-6<-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<2{,}8,$$
значит, между числами $$-\sqrt{42}$$ и $$2{,}8$$ расположены целые числа $$-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$$.
Проверим подстановкой.
1) При $$x=-1$$:
$$(-1)^2-2\cdot(-1)+3=1+2+3=6\ne 0.$$
Значит, число $$-1$$ не является корнем уравнения $$x^2-2x+3=0$$.
2) При $$x=-\frac13$$:
$$3\left(-\frac13\right)^2+10\left(-\frac13\right)+3=3\cdot\frac19-\frac{10}{3}+3=\frac13-\frac{10}{3}+3=0.$$
При $$x=-3$$:
$$3(-3)^2+10(-3)+3=3\cdot 9-30+3=27-27=0.$$
Значит, числа $$-\frac13$$ и $$-3$$ являются корнями уравнения $$3x^2+10x+3=0$$.
3) При $$x=-\sqrt2$$:
$$3(-\sqrt2)^2-6=3\cdot 2-6=0.$$
При $$x=\sqrt2$$:
$$3(\sqrt2)^2-6=3\cdot 2-6=0.$$
Значит, числа $$-\sqrt2$$ и $$\sqrt2$$ являются корнями уравнения $$3x^2-6=0$$.