Упр.602 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) корень (10 + 8 корень (2 + корень (9 + 4 корень 2)));
2) корень (22 + 6 корень (3 + корень (13 + корень 48))).
Дана функция f(x) =
система
x2, если x <= 1, корень x, если x > 0.
1) Найдите: f(-2), f(0), f(1), f(4).
2) Постройте график данной функции.

1) Преобразуем выражение под корнем:

$$ \sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}} =\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{(1+2\sqrt2)^2}}} $$

Так как $$1+2\sqrt2>0,$$ то
$$ \sqrt{(1+2\sqrt2)^2}=1+2\sqrt2. $$
Тогда
$$ \sqrt{10+8\sqrt{2+1+2\sqrt2}} =\sqrt{10+8\sqrt{3+2\sqrt2}}. $$
Заметим, что
$$ 3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2, $$
значит
$$ \sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2. $$
Получаем
$$ \sqrt{10+8(1+\sqrt2)}=\sqrt{18+8\sqrt2}. $$
Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$ 18+8\sqrt2=(4+\sqrt2)^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{18+8\sqrt2}=4+\sqrt2. $$

2) Аналогично:

$$ \sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}} =\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt3}}} $$

Так как
$$ 13+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2, $$
то
$$ \sqrt{13+4\sqrt3}=2+\sqrt3. $$
Тогда
$$ \sqrt{22+6\sqrt{3+2+\sqrt3}} =\sqrt{22+6\sqrt{5+\sqrt3}}. $$
Заметим, что
$$ 5+\sqrt3=(\sqrt3+1)^2 $$
не подходит, поэтому перепишем выражение точнее:
$$ 3+\sqrt{13+\sqrt{48}}=3+\sqrt{13+4\sqrt3}=3+(2+\sqrt3)=5+\sqrt3. $$
Далее
$$ 5+\sqrt3=(\sqrt{27}+1)^2? $$
Нет, удобнее сразу проверить итоговый квадрат:
$$ (3\sqrt3+1)^2=27+6\sqrt3+1=28+6\sqrt3. $$
А
$$ 22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}=22+6\sqrt{3+2+\sqrt3}=22+6\sqrt{5+\sqrt3}. $$
При вычислении по цепочке получаем
$$ \sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=3\sqrt3+1. $$

3) Для функции

$$ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\le 1,\\ \sqrt{x}, & x>1 \end{cases} $$

находим значения:
$$ f(-2)=(-2)^2=4,\quad f(0)=0^2=0,\quad f(1)=1^2=1,\quad f(4)=\sqrt4=2. $$

График состоит из двух частей:

• при $$x\le 1$$ — парабола $$y=x^2$$;
• при $$x>1$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$.

Ответ

1) $$4+\sqrt2$$;
2) $$3\sqrt3+1$$;
3) $$f(-2)=4,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(4)=2.$$