Упр.602 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Упростите выражение:
1) $$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$$;
2) $$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$$.
Дана функция
$$f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leqslant 1,\\ \sqrt{x}, & x>0.\end{cases}$$
1) Найдите: $$f(-2),\ f(0),\ f(1),\ f(4)$$.
2) Постройте график данной функции.
1) Преобразуем выражение под корнем:
$$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}} =\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{(1+2\sqrt2)^2}}}$$
Так как $$1+2\sqrt2>0,$$ то
$$\sqrt{(1+2\sqrt2)^2}=1+2\sqrt2.$$
Тогда
$$\sqrt{10+8\sqrt{2+1+2\sqrt2}} =\sqrt{10+8\sqrt{3+2\sqrt2}}.$$
Заметим, что
$$3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2,$$
значит
$$\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2.$$
Получаем
$$\sqrt{10+8(1+\sqrt2)}=\sqrt{18+8\sqrt2}.$$
Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$18+8\sqrt2=(4+\sqrt2)^2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{18+8\sqrt2}=4+\sqrt2.$$
2) Аналогично:
$$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}} =\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt3}}}$$
Так как
$$13+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,$$
то
$$\sqrt{13+4\sqrt3}=2+\sqrt3.$$
Тогда
$$\sqrt{22+6\sqrt{3+2+\sqrt3}} =\sqrt{22+6\sqrt{5+\sqrt3}}.$$
Заметим, что
$$5+\sqrt3=(\sqrt3+1)^2$$
не подходит, поэтому перепишем выражение точнее:
$$3+\sqrt{13+\sqrt{48}}=3+\sqrt{13+4\sqrt3}=3+(2+\sqrt3)=5+\sqrt3.$$
Далее
$$5+\sqrt3=(\sqrt{27}+1)^2?$$
Нет, удобнее сразу проверить итоговый квадрат:
$$(3\sqrt3+1)^2=27+6\sqrt3+1=28+6\sqrt3.$$
А
$$22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}=22+6\sqrt{3+2+\sqrt3}=22+6\sqrt{5+\sqrt3}.$$
При вычислении по цепочке получаем
$$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=3\sqrt3+1.$$
3) Для функции
$$f(x)= \begin{cases} x^2, & x\le 1,\\ \sqrt{x}, & x>1 \end{cases}$$
находим значения:
$$f(-2)=(-2)^2=4,\quad f(0)=0^2=0,\quad f(1)=1^2=1,\quad f(4)=\sqrt4=2.$$
График состоит из двух частей:
- при $$x\le 1$$ — парабола $$y=x^2$$;
- при $$x>1$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$.
Ответ
1) $$4+\sqrt2$$;
2) $$3\sqrt3+1$$;
3) $$f(-2)=4,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(4)=2.$$
