Упр.600 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1/(корень 3 + 1) + 1/(корень 5 + корень 3) + 1/(корень 7 + корень 5) + … + 1/(корень 91 + корень 89) = (корень 91 — 1)/2. Решите уравнение корень x = — x2.

Подробный ответ

Преобразуем каждую дробь:
$$ \frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}, $$
аналогично
$$ \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}, \quad \ldots, \quad \frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}}=\frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{2}. $$

Тогда сумма равна
$$ \frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{2}. $$
Слагаемые сокращаются, и остаётся
$$ \frac{\sqrt{91}-1}{2}. $$

Решим уравнение
$$ \sqrt{x}=-x^2. $$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, а $$-x^2\le 0$$, то равенство возможно только при
$$ \sqrt{x}=0 \quad \text{и} \quad -x^2=0. $$
Отсюда
$$ x=0. $$
Проверка: $$\sqrt{0}=-0^2$$, верно.