Упр.6.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) уравнение (|x|+3)f(x)=2|x|+6 заменить на уравнение f(x)=2;
2) уравнение f(x)/(x^2 +1)=0 заменить на уравнение f(x)=0;
3) уравнение (x+1)f(x)=x+1 заменить на уравнение f(x)=1;
4) уравнение f(x)/(x+1)=g(x)/(x+1) заменить на уравнение f(x)=g(x);
5) уравнение f(x)=g(x) заменить на уравнение (x+1)f(x)=(x+1)g(x)?

Подробный ответ

$$ (|x|+3)f(x)=2|x|+6 $$
Так как $$2|x|+6=2(|x|+3),$$ то
$$ f(x)=\frac{2(|x|+3)}{|x|+3}=2. $$
При любом $$x$$ множество корней не изменится, если заменить это уравнение на $$f(x)=2.$$
$$ \frac{f(x)}{x^2+1}=0 $$
Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ то дробь равна нулю тогда и только тогда, когда
$$ f(x)=0. $$
Множество корней не изменится.
$$ (x+1)f(x)=x+1 $$
При $$x\ne -1$$ можно разделить обе части на $$x+1$$:
$$ f(x)=\frac{x+1}{x+1}=1. $$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение тоже верно при любом значении $$f(-1).$$ Поэтому при замене на $$f(x)=1$$ множество корней может расшириться.
$$ \frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1} $$
При $$x\ne -1$$ получаем
$$ f(x)=g(x). $$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение не имеет смысла. Значит, при замене на $$f(x)=g(x)$$ множество корней может расшириться.
$$ f(x)=g(x) $$
Если умножить обе части на $$x+1,$$ получим
$$ (x+1)f(x)=(x+1)g(x). $$
При $$x=-1$$ это уравнение выполняется автоматически, даже если $$f(-1)\ne g(-1).$$ Поэтому множество корней может расшириться.