Упр.6.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) имеет один корень; 3) имеет бесконечно много корней;
2) имеет два корня; 4) не имеет корней.

1. Уравнение с одним корнем:
   $$2x+4=6$$
   $$2x=2$$
   $$x=1$$
   и
   $$x-1=0$$
   Оба уравнения имеют один и тот же корень $$x=1$$, значит, они равносильны.
2. Уравнения с двумя корнями:
   $$x^2-1=0$$
   $$x^2=1$$
   Первое уравнение даёт
   $$ x^2-1=(x-1)(x+1)=0 $$
   значит, $$x=1$$ или $$x=-1$$.
   Второе уравнение также имеет корни $$x=1$$ и $$x=-1$$. Уравнения равносильны.
3. Уравнения с бесконечно многими корнями:
   $$x+1=1+x$$
   $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$
   Первое уравнение верно при любом $$x$$. Во втором уравнении знаменатель $$x^2+1$$ всегда положителен, поэтому
   $$ \frac{x^2+1}{x^2+1}=1 $$
   при любом $$x$$. Следовательно, оба уравнения имеют бесконечно много корней и равносильны.
4. Уравнения, не имеющие корней:
   $$\frac{x-2}{x-2}=0$$
   $$2x^2+3=0$$
   В первом уравнении левая часть равна $$1$$ при всех $$x \ne 2$$, а при $$x=2$$ выражение не имеет смысла, значит, корней нет. Во втором уравнении
   $$ 2x^2+3=0 \Rightarrow 2x^2=-3, $$
   что невозможно для действительных чисел. Следовательно, корней нет и у второго уравнения. Уравнения равносильны.

Ответ

1) $$2x+4=6$$ и $$x-1=0$$;
2) $$x^2-1=0$$ и $$x^2=1$$;
3) $$x+1=1+x$$ и $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$;
4) $$\frac{x-2}{x-2}=0$$ и $$2x^2+3=0$$.