Упр.6.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) в уравнении 3(2x-1)-5(4x+2)=1 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;
2) в уравнении x^2 +1/(x-7)-1/(x-7)=49 разность 1/(x-7)-1/(x-7) заменить на нуль;
3) в уравнении (x^2 -1)/(x-1) +3x-5=0 сократить дробь;
4) обе части уравнения x^3 =x разделить на x;
5) обе части уравнения (x+1)(x^2 +4)=x^2 +4 разделить на x^2 +4;
6) обе части уравнения x^2/x =2 умножить на x;
7) обе части уравнения 2x+1=5 умножить на x+1?

Подробный ответ

При раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых получаем уравнение
$$3(2x-1)-5(4x+2)=1 \;\Longrightarrow\; 6x-3-20x-10=1 \;\Longrightarrow\; -14x-13=1.$$
Это преобразование равносильно исходному.
В уравнении
$$x^2+\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-7}=49$$
область допустимых значений: $$x\ne 7$$. Разность дробей равна нулю, поэтому получаем
$$x^2=49.$$
Но из этого уравнения следует $$x=\pm 7$$, а значение $$x=7$$ не подходит. Значит, преобразование неравносильно.
В уравнении
$$\frac{x^2-1}{x-1}+3x-5=0$$
ОДЗ: $$x\ne 1$$. Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$, то
$$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+3x-5=0 \;\Longrightarrow\; x+1+3x-5=0.$$
Полученное уравнение имеет корень $$x=1$$, но он не входит в ОДЗ. Следовательно, преобразование неравносильно.
В уравнении
$$x^3=x$$
при делении обеих частей на $$x$$ теряется корень $$x=0$$. Действительно, исходное уравнение равносильно
$$x(x^2-1)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=\pm 1$$. Значит, преобразование неравносильно.
В уравнении
$$ (x+1)(x^2+4)=x^2+4 $$
при делении на $$x^2+4$$ нужно учитывать, что $$x^2+4\ne 0$$ при любых действительных $$x$$. Поэтому преобразование равносильно, и получаем
$$x+1=1,\quad x=0.$$
В уравнении
$$\frac{x^2}{x}=2$$
ОДЗ: $$x\ne 0$$. При умножении обеих частей на $$x$$ получаем
$$x^2=2x \;\Longrightarrow\; x(x-2)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=2$$. Но $$x=0$$ не подходит по ОДЗ, значит преобразование неравносильно.
В уравнении
$$2x+1=5$$
при умножении обеих частей на $$x+1$$ можно получить лишний корень, если $$x+1=0$$. Исходное уравнение даёт
$$2x=4,\quad x=2.$$
После умножения:
$$ (2x+1)(x+1)=5(x+1), $$
что приводит к дополнительному корню $$x=-1$$. Значит, преобразование неравносильно.