Упр.6.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Равносильны ли уравнения:

$$x+6=10$$ и $$2x-1=7$$;
$$x^2=x$$ и $$x=1$$;
$$x^2+1=0$$ и $$\frac{3}{x-1}=0$$;
$$\frac{x+1}{x+1}=1$$ и $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$;
$$\frac{x-2}{x-2}=0$$ и $$2x^2+3=0$$;
$$x^2+4x+4=0$$ и $$\frac{x+2}{x-1}=0$$;
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0$$ и $$x+3=0$$;
$$\frac{x+1}{x+1}=0$$ и $$\frac{x^2-1}{x^2-1}=0$$?

Подробный ответ

$$x+6=10 \Rightarrow x=4,$$
$$2x-1=7 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4.$$
Уравнения равносильны.
$$x^2=x \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
Второе уравнение:
$$x=1.$$
Уравнения не равносильны.
$$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1,$$
решений нет.
$$\frac{3}{x-1}=0,$$
так как числитель равен $$3 \ne 0,$$ решений нет.
Уравнения равносильны.
$$\frac{x+1}{x+1}=1,$$ $$x \ne -1.$$
При любом $$x \ne -1$$ равенство верно.
$$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1,$$ $$x^2+1 \ne 0,$$
а это верно при любом действительном $$x.$$
Уравнения не равносильны.
$$\frac{x-2}{x-2}=0,$$ $$x \ne 2.$$
Но дробь с числителем $$x-2$$ не может быть равна нулю, значит корней нет.
$$2x^2+3=0 \Rightarrow x^2=-\frac{3}{2},$$
действительных корней нет.
Уравнения равносильны.
$$x^2+4x+4=0 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2.$$
$$\frac{x+2}{x-1}=0,$$ $$x \ne 1.$$
Тогда
$$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$
Уравнения равносильны.
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0,$$ $$x \ne 3.$$
Тогда
$$x^2-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0,$$
$$x=3 \text{ или } x=-3.$$
С учётом ОДЗ остаётся $$x=-3.$$
$$x+3=0 \Rightarrow x=-3.$$
Уравнения равносильны.
$$\frac{x+1}{x+1}=0,$$ $$x \ne -1.$$
Но дробь не может быть равна нулю, так как числитель и знаменатель одинаковы, значит корней нет.
$$\frac{x^2-1}{x^2-1}=0,$$ $$x \ne \pm 1.$$
Эта дробь также не может быть равна нулю, значит корней нет.
Уравнения равносильны.