Упр.6.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\frac{x+5}{x^2-5x}-\frac{x-5}{2x^2+10x}=\frac{x+25}{2x^2-50}$$;
   2) $$\frac{2}{x^2-9}-\frac{1}{2x^2-12x+18}=\frac{3}{2x^2+6x}$$;
   3) $$\frac{9x+12}{x^3-64}-\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x^2+4x+16}$$.

1. $$\frac{x+5}{x^2-5x}-\frac{x-5}{2x^2+10x}=\frac{x+25}{2x^2-50}$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$x^2-5x=x(x-5), \quad 2x^2+10x=2x(x+5), \quad 2x^2-50=2(x-5)(x+5).$$

   ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 5,\; x\ne -5.$$

   Приведём левую часть к общему знаменателю:

   $$\frac{x+5}{x(x-5)}-\frac{x-5}{2x(x+5)}-\frac{x+25}{2(x-5)(x+5)}=0$$

   Умножим на общий знаменатель $$2x(x-5)(x+5)$$:

   $$2(x+5)^2-(x-5)^2-x(x+25)=0$$

   $$2(x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)-x^2-25x=0$$

   $$2x^2+20x+50-x^2+10x-25-x^2-25x=0$$

   $$5x+25=0$$

   $$x=-5$$

   Но $$x=-5$$ не входит в ОДЗ. Корней нет.

2. $$\frac{2}{x^2-9}-\frac{1}{2x^2-12x+18}=\frac{3}{2x^2+6x}$$

   Разложим знаменатели:

   $$x^2-9=(x-3)(x+3), \quad 2x^2-12x+18=2(x-3)^2, \quad 2x^2+6x=2x(x+3).$$

   ОДЗ: $$x\ne -3,\; x\ne 0,\; x\ne 3.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{2(x-3)^2}-\frac{3}{2x(x+3)}=0$$

   Умножим на общий знаменатель $$2x(x-3)^2(x+3)$$:

   $$4x(x-3)-x(x+3)-3(x-3)^2=0$$

   $$4x^2-12x-x^2-3x-3(x^2-6x+9)=0$$

   $$4x^2-12x-x^2-3x-3x^2+18x-27=0$$

   $$3x-27=0$$

   $$x=9$$

   Проверка ОДЗ: $$9\ne -3,\; 9\ne 0,\; 9\ne 3.$$ Значит, $$x=9$$.

3. $$\frac{9x+12}{x^3-64}-\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x^2+4x+16}$$

   Заметим, что

   $$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).$$

   ОДЗ: $$x\ne 4.$$

   Приведём левую часть к общему знаменателю:

   $$\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\frac{x^2+4x+16}{(x-4)(x^2+4x+16)}=\frac{1}{x^2+4x+16}$$

   Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$x^3-64$$:

   $$9x+12-(x^2+4x+16)-(x-4)=0$$

   $$9x+12-x^2-4x-16-x+4=0$$

   $$-x^2+4x=0$$

   $$-x(x-4)=0$$

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=4$$

   Но $$x=4$$ не входит в ОДЗ, значит остаётся $$x=0$$.

Ответ

1) корней нет; 2) $$x=9$$; 3) $$x=0$$.