Упр.6.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x+5)/(x^2-5x)-(x-5)/(2x^2+10x)=(x+25)/(2x^2-50);
2) 2/(x^2-9)-1/(2x^2-12x+18)=3/(2x^2+6x);
3) (9x+12)/(x^3-64)-1/(x-4)=1/(x^2+4x+16).

Подробный ответ

$$\frac{x+5}{x^2-5x}-\frac{x-5}{2x^2+10x}=\frac{x+25}{2x^2-50}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$x^2-5x=x(x-5), \quad 2x^2+10x=2x(x+5), \quad 2x^2-50=2(x-5)(x+5).$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 5,\; x\ne -5.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{x+5}{x(x-5)}-\frac{x-5}{2x(x+5)}-\frac{x+25}{2(x-5)(x+5)}=0$$
Умножим на общий знаменатель $$2x(x-5)(x+5)$$:
$$ 2(x+5)^2-(x-5)^2-x(x+25)=0 $$
$$ 2(x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)-x^2-25x=0 $$
$$ 2x^2+20x+50-x^2+10x-25-x^2-25x=0 $$
$$ 5x+25=0 $$
$$ x=-5 $$
Но $$x=-5$$ не входит в ОДЗ. Корней нет.
$$\frac{2}{x^2-9}-\frac{1}{2x^2-12x+18}=\frac{3}{2x^2+6x}$$
Разложим знаменатели:
$$x^2-9=(x-3)(x+3), \quad 2x^2-12x+18=2(x-3)^2, \quad 2x^2+6x=2x(x+3).$$
ОДЗ: $$x\ne -3,\; x\ne 0,\; x\ne 3.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{2(x-3)^2}-\frac{3}{2x(x+3)}=0 $$
Умножим на общий знаменатель $$2x(x-3)^2(x+3)$$:
$$ 4x(x-3)-x(x+3)-3(x-3)^2=0 $$
$$ 4x^2-12x-x^2-3x-3(x^2-6x+9)=0 $$
$$ 4x^2-12x-x^2-3x-3x^2+18x-27=0 $$
$$ 3x-27=0 $$
$$ x=9 $$
Проверка ОДЗ: $$9\ne -3,\; 9\ne 0,\; 9\ne 3.$$ Значит, $$x=9$$.
$$\frac{9x+12}{x^3-64}-\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x^2+4x+16}$$
Заметим, что
$$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).$$
ОДЗ: $$x\ne 4.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$ \frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\frac{x^2+4x+16}{(x-4)(x^2+4x+16)}=\frac{1}{x^2+4x+16} $$
Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$x^3-64$$:
$$ 9x+12-(x^2+4x+16)-(x-4)=0 $$
$$ 9x+12-x^2-4x-16-x+4=0 $$
$$ -x^2+4x=0 $$
$$ -x(x-4)=0 $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad x=4 $$
Но $$x=4$$ не входит в ОДЗ, значит остаётся $$x=0$$.