Упр.6.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
- Равносильны ли уравнения: 1) $$x+2=10$$ и $$3x=24$$; 2) $$x-5=0$$ и $$x(x-5)=0$$; 3) $$\frac{6}{x}=0$$ и $$x^2=-4$$; 4) $$x+1=1+x$$ и $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$; 5) $$x^3=1$$ и $$|x|=1$$; 6) $$\frac{x}{x}=1$$ и $$x=x$$; 7) $$x^2+2x+1=0$$ и $$x+1=0$$; 8) $$(x+1)(x^2+1)=0$$ и $$x+1=0$$; 9) $$\frac{x^2-1}{x+1}=0$$ и $$x-1=0$$; 10) $$\frac{x^2-9}{x+2}=0$$ и $$x^2-9=0$$?
$$x+2=10 \quad \text{и} \quad 3x=24$$
$$x=10-2=8$$
$$3x=24 \Rightarrow x=24:3=8$$
Уравнения равносильны.
$$x-5=0 \quad \text{и} \quad x(x-5)=0$$
$$x-5=0 \Rightarrow x=5$$
$$x(x-5)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=5$$
Уравнения не равносильны.
$$\frac{6}{x}=0 \quad \text{и} \quad x^2=-4$$
Уравнение $$\frac{6}{x}=0$$ не имеет решений, так как дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю.
Уравнение $$x^2=-4$$ также не имеет решений, так как $$x^2 \ge 0$$ при любых действительных $$x$$.
Уравнения равносильны.
$$x+1=1+x \quad \text{и} \quad \frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$
$$x+1=1+x$$ верно при любом $$x$$.
Во втором уравнении знаменатель $$x^2+1$$ всегда отличен от нуля, поэтому
$$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$
также верно при любом $$x$$.
Уравнения равносильны.
$$x^3=1 \quad \text{и} \quad |x|=1$$
$$x^3=1 \Rightarrow x=1$$
$$|x|=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
Уравнения не равносильны.
$$\frac{x}{x}=1 \quad \text{и} \quad x=x$$
Уравнение $$\frac{x}{x}=1$$ имеет смысл только при $$x \ne 0$$, тогда оно верно.
Уравнение $$x=x$$ верно при любом $$x$$.
Уравнения не равносильны.
$$x^2+2x+1=0 \quad \text{и} \quad x+1=0$$
$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$
$$(x+1)^2=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$$
$$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$
Уравнения равносильны.
$$(x+1)(x^2+1)=0 \quad \text{и} \quad x+1=0$$
$$(x+1)(x^2+1)=0 \Rightarrow x+1=0 \text{ или } x^2+1=0$$
$$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$
$$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$$
Действительных решений у второго уравнения нет.
Уравнения равносильны.
$$\frac{x^2-1}{x+1}=0 \quad \text{и} \quad x-1=0$$
Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:
$$x^2-1=0, \quad x+1 \ne 0$$
$$x^2-1=(x-1)(x+1)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=-1$$
Но $$x=-1$$ не подходит, так как тогда $$x+1=0$$.
Значит, $$x=1$$.
$$x-1=0 \Rightarrow x=1$$
Уравнения равносильны.
$$\frac{x^2-9}{x+2}=0 \quad \text{и} \quad x^2-9=0$$
Для первой дроби нужно:
$$x^2-9=0, \quad x+2 \ne 0$$
$$x^2-9=(x-3)(x+3)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=-3$$
Оба значения допустимы, так как $$x \ne -2$$.
$$x^2-9=0 \Rightarrow x=3 \text{ или } x=-3$$
Уравнения равносильны.
Ответ
1) равносильны; 2) не равносильны; 3) равносильны; 4) равносильны; 5) не равносильны; 6) не равносильны; 7) равносильны; 8) равносильны; 9) равносильны; 10) равносильны.
