Упр.599 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Упростите выражение: $$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$$.
2. Задание учебника 2019 года. Упростите выражение:
   1. $$\sqrt{(\sqrt{5}-4)^2}$$;
   2. $$\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2}-\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}$$.

1) Преобразуем каждую дробь, рационализуя знаменатель:

$$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1,$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2},$$
$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3},$$
$$\ldots$$
$$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}.$$

Тогда сумма принимает вид:

$$(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}).$$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, остаётся:

$$\sqrt{100}-1=10-1=9.$$

2)

$$\sqrt{(\sqrt{5}-4)^2}-\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} =|\sqrt{5}-4|-|\sqrt{8}-3|.$$

Так как $$\sqrt{5}-4<0$$ и $$\sqrt{8}-3<0,$$ то

$$|\sqrt{5}-4|=4-\sqrt{5}, \qquad |\sqrt{8}-3|=3-\sqrt{8}.$$

Следовательно,

$$(4-\sqrt{5})-(3-\sqrt{8})=1-\sqrt{5}+\sqrt{8}.$$

Учитывая, что $$\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$ получаем:

$$1-\sqrt{5}+2\sqrt{2}.$$

Но по изображению во втором пункте выражение записано как $$\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2}-\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2},$$ тогда:

$$|\sqrt{8}-3|-|\sqrt{2}-3|=(3-\sqrt{8})-(3-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\sqrt{8}=-\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$9$$; 2) $$-\sqrt{2}$$.