Упр.599 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1/(корень 2 + 1) + 1/(корень 3 + корень 2) + 1/(корень 4 + корень 3) + 1/(корень 5 + корень 4) + … + 1/(корень 100 + корень 99). Упростите выражение:
1) корень (корень 5 — 4)2;
2) корень (корень 8 — З)2 — корень (корень 2 — 3)2.

1) Преобразуем каждую дробь, рационализуя знаменатель:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}, $$
$$ \ldots $$
$$ \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}. $$

Тогда сумма принимает вид:

$$ (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}). $$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, остаётся:

$$ \sqrt{100}-1=10-1=9. $$

2)

$$ \sqrt{(\sqrt{5}-4)^2}-\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} =|\sqrt{5}-4|-|\sqrt{8}-3|. $$

Так как $$\sqrt{5}-4<0$$ и $$\sqrt{8}-3<0,$$ то

$$ |\sqrt{5}-4|=4-\sqrt{5}, \qquad |\sqrt{8}-3|=3-\sqrt{8}. $$

Следовательно,

$$ (4-\sqrt{5})-(3-\sqrt{8})=1-\sqrt{5}+\sqrt{8}. $$

Учитывая, что $$\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$ получаем:

$$ 1-\sqrt{5}+2\sqrt{2}. $$

Но по изображению во втором пункте выражение записано как $$\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2}-\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2},$$ тогда:

$$ |\sqrt{8}-3|-|\sqrt{2}-3|=(3-\sqrt{8})-(3-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\sqrt{8}=-\sqrt{2}. $$

Ответ

1) $$9$$; 2) $$-\sqrt{2}$$.