Упр.588 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (корень из a-3)/(корень из a+1)-(корень из a-4)/корень из a;
2) (корень из a+1)/(a-корень из ab)-(корень из b+1)/(корень из ab-b);
3) корень из x/(y-2корень из y) : корень из x/(3корень из y-6);
4) (корень из c-5)/корень из c : (c-25)/3c.
Запишите в порядке убывания числа: 8; корень 62; 7,9; корень 65; 8,2.

1. $$\frac{\sqrt a-3}{\sqrt a+1}-\frac{\sqrt a-4}{\sqrt a}$$
   
   Приведём к общему знаменателю $$\sqrt a(\sqrt a+1)$$:
   $$ \frac{\sqrt a(\sqrt a-3)-(\sqrt a-4)(\sqrt a+1)}{\sqrt a(\sqrt a+1)} $$
   Раскроем скобки:
   $$ \frac{a-3\sqrt a-(a-3\sqrt a-4)}{\sqrt a(\sqrt a+1)} = \frac{4}{\sqrt a(\sqrt a+1)} $$
   Так как $$\sqrt a(\sqrt a+1)=a+\sqrt a,$$ получаем:
   $$ \frac{4}{a+\sqrt a} $$
2. $$ \frac{\sqrt a+1}{a-\sqrt{ab}}-\frac{\sqrt b+1}{\sqrt{ab}-b} $$
   Заметим, что
   $$ \sqrt{ab}-b=-(b-\sqrt{ab}), $$
   поэтому
   $$ \frac{\sqrt a+1}{a-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt b+1}{b-\sqrt{ab}} $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(\sqrt a+1)(b-\sqrt{ab})+(\sqrt b+1)(a-\sqrt{ab})}{(a-\sqrt{ab})(b-\sqrt{ab})} $$
   Числитель:
   $$ b\sqrt a-a\sqrt b+b-\sqrt{ab}+a\sqrt b-b\sqrt a+a-\sqrt{ab}=a+b-2\sqrt{ab} $$
   Знаменатель:
   $$ (a-\sqrt{ab})(b-\sqrt{ab})=ab-a\sqrt{ab}-b\sqrt{ab}+ab =2ab-\sqrt{ab}(a+b) $$
   Так как
   $$ a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2, $$
   то после сокращения получаем:
   $$ -\frac{1}{\sqrt{ab}} $$
3. $$ \frac{\sqrt x}{y-2\sqrt y}:\frac{\sqrt x}{3\sqrt y-6} = \frac{\sqrt x}{y-2\sqrt y}\cdot\frac{3\sqrt y-6}{\sqrt x} $$
   Разложим на множители:
   $$ y-2\sqrt y=\sqrt y(\sqrt y-2), \qquad 3\sqrt y-6=3(\sqrt y-2) $$
   Тогда
   $$ \frac{\sqrt x}{\sqrt y(\sqrt y-2)}\cdot\frac{3(\sqrt y-2)}{\sqrt x} = \frac{3}{\sqrt y} $$
4. $$ \frac{\sqrt c-5}{\sqrt c}:\frac{c-25}{3c} = \frac{\sqrt c-5}{\sqrt c}\cdot\frac{3c}{c-25} $$
   Разложим разность квадратов:
   $$ c-25=(\sqrt c-5)(\sqrt c+5) $$
   Тогда
   $$ \frac{\sqrt c-5}{\sqrt c}\cdot\frac{3c}{(\sqrt c-5)(\sqrt c+5)} = \frac{3c}{\sqrt c(\sqrt c+5)} = \frac{3\sqrt c}{\sqrt c+5} $$

Теперь расположим числа в порядке убывания. Имеем:

$$8=\sqrt{64}, \qquad \sqrt{62}, \qquad 7{,}9=\sqrt{62{,}41}, \qquad \sqrt{65}, \qquad 8{,}2=\sqrt{67{,}24}$$

Значит,
$$8{,}2>\sqrt{65}>8>7{,}9>\sqrt{62}.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{a+\sqrt a}$$;
2) $$-\frac{1}{\sqrt{ab}}$$;
3) $$\frac{3}{\sqrt y}$$;
4) $$\frac{3\sqrt c}{\sqrt c+5}$$;
$$8{,}2;\ \sqrt{65};\ 8;\ 7{,}9;\ \sqrt{62}.$$