Упр.583 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$$; 2) $$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$$.
2. Не выполняя построения, определите, через какие из данных точек проходит график функции $$y=\sqrt{x}$$: А $$\left(36; 6\right)$$, В $$\left(4; -2\right)$$, С $$\left(0{,}81; 0{,}9\right)$$, D $$\left(-1; 1\right)$$, Е $$\left(42{,}25; 6{,}5\right)$$.

1) Освободимся от иррациональности в знаменателе:

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-1}=2-\sqrt{2}$$

$$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}=\sqrt{7}-\sqrt{3}$$

$$\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}}=\frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{(\sqrt{15}-\sqrt{12})(\sqrt{15}+\sqrt{12})}=\frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{15-12}=5(\sqrt{15}+\sqrt{12})$$

$$\frac{19}{2\sqrt{5}-1}=\frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)}=\frac{19(2\sqrt{5}+1)}{4\cdot 5-1}=2\sqrt{5}+1$$

$$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$$

$$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$$

2) Проверим, какие точки лежат на графике функции $$y=\sqrt{x}$$:

$$A(36;6):\quad 6=\sqrt{36},\ \text{точка подходит}$$

$$B(4;-2):\quad -2\ne \sqrt{4},\ \text{точка не подходит}$$

$$C(0{,}81;0{,}9):\quad 0{,}9=\sqrt{0{,}81},\ \text{точка подходит}$$

$$D(-1;1):\quad x=-1<0,\ \text{для } y=\sqrt{x} \text{ не подходит}$$

$$E(42{,}25;6{,}5):\quad 6{,}5=\sqrt{42{,}25},\ \text{точка подходит}$$

Ответ

1) $$2-\sqrt{2};\ \sqrt{7}-\sqrt{3};\ 5(\sqrt{15}+\sqrt{12});\ 2\sqrt{5}+1;\ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b};\ 2+\sqrt{3}.$$
2) График функции $$y=\sqrt{x}$$ проходит через точки $$A,\ C,\ E.$$