Упр.580 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите значение выражения:
   а) $$\left(3\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{8}-2\right)$$;
   б) $$\left(3-2\sqrt{7}\right)^2+\left(3+2\sqrt{7}\right)^2$$;
   в) $$\left(10-4\sqrt{6}\right)\left(2+\sqrt{6}\right)^2$$;
   г) $$\left(\sqrt{9-4\sqrt{2}}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}\right)^2$$.
2. Известно, что в некотором классе без двоек учатся не менее $$95{,}5\%$$ и не более $$96{,}5\%$$ учеников этого класса. Какое наименьшее количество учеников может быть в этом классе?

1. $$\left(3\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{8}-2\right)=\left(3\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)$$
   $$=6\cdot 2-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2=12-4\sqrt{2}-2=10-4\sqrt{2}.$$

2. $$\left(3-2\sqrt{7}\right)^2+\left(3+2\sqrt{7}\right)^2$$
   $$= \left(9-12\sqrt{7}+28\right)+\left(9+12\sqrt{7}+28\right)$$
   $$=18+56=74.$$

3. $$\left(10-4\sqrt{6}\right)\left(2+\sqrt{6}\right)^2$$
   $$=\left(10-4\sqrt{6}\right)\left(4+4\sqrt{6}+6\right)$$
   $$=\left(10-4\sqrt{6}\right)\left(10+4\sqrt{6}\right)$$
   $$=100-16\cdot 6=100-96=4.$$

4. $$\left(\sqrt{9-4\sqrt{2}}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}\right)^2$$
   $$=\left(\sqrt{9-4\sqrt{2}}\right)^2+2\sqrt{(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2})}+\left(\sqrt{9+4\sqrt{2}}\right)^2$$
   $$=9-4\sqrt{2}+2\sqrt{81-16\cdot 2}+9+4\sqrt{2}$$
   $$=18+2\sqrt{49}=18+2\cdot 7=32.$$

5. Пусть доля учеников без двоек равна $$x\%$$. Тогда
   $$95{,}5 \le x \le 96{,}5.$$
   Значит, доля учеников с двойками равна
   $$100-x,$$
   и
   $$3{,}5 \le 100-x \le 4{,}5.$$
   Тогда число учеников в классе должно удовлетворять
   $$\frac{100}{4{,}5}\le n \le \frac{100}{3{,}5}.$$
   Получаем
   $$22\frac{2}{9}\le n \le 28\frac{4}{7}.$$
   Наименьшее целое значение $$n$$ равно $$23$$.

Ответ

1) $$10-4\sqrt{2}$$; 2) $$74$$; 3) $$4$$; 4) $$32$$; 5) $$23$$ ученика.