Упр.58 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Для каждого значения $$a$$ решите уравнение: 1) $$ax=1$$; 2) $$ax=a$$; 3) $$(a-6)x=a^2-12a+36$$; 4) $$(a^2-4)x=a-2$$.
2. Решите уравнение: 1) $$\frac{x+1}{x+1}=1$$; 2) $$\frac{x^2-25}{x-5}=10$$; 3) $$\frac{x+6}{|x|-6}=0$$.

1) $$ax=1$$

Если $$a=0$$, получаем $$0x=1$$ — корней нет.

Если $$a\ne 0$$, то

$$x=\frac{1}{a}.$$

2) $$ax=a$$

Если $$a=0$$, получаем $$0x=0$$ — любое число является корнем.

Если $$a\ne 0$$, то

$$x=\frac{a}{a}=1.$$

3) $$(a-6)x=a^2-12a+36$$

Преобразуем правую часть:

$$a^2-12a+36=(a-6)^2.$$

Тогда

$$(a-6)x=(a-6)^2.$$

Если $$a=6$$, получаем $$0x=0$$ — любое число является корнем.

Если $$a\ne 6$$, то

$$x=\frac{(a-6)^2}{a-6}=a-6.$$

4) $$(a^2-4)x=a-2$$

Разложим на множители:

$$(a-2)(a+2)x=a-2.$$

Если $$a=2$$, получаем $$0x=0$$ — любое число является корнем.

Если $$a=-2$$, получаем $$0x=-4$$ — корней нет.

Если $$a\ne \pm 2$$, то

$$x=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)}=\frac{1}{a+2}.$$

5) $$\frac{x+1}{x+1}=1$$

ОДЗ: $$x\ne -1.$$

При $$x\ne -1$$ дробь равна $$1$$, значит

$$x\in \mathbb{R},\ x\ne -1.$$

6) $$\frac{x^2-25}{x-5}=10$$

ОДЗ: $$x\ne 5.$$

Разложим числитель:

$$\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=10.$$

При $$x\ne 5$$ получаем

$$x+5=10,$$

$$x=5,$$

но это значение не подходит по ОДЗ. Корней нет.

7) $$\frac{x+6}{|x|-6}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x+6=0 \Rightarrow x=-6.$$

Проверим знаменатель:

$$|{-6}|-6=6-6=0,$$

значит это значение не подходит. Корней нет.

Ответ

1) $$x=\frac{1}{a}$$ при $$a\ne 0$$; при $$a=0$$ корней нет.

2) $$x=1$$ при $$a\ne 0$$; при $$a=0$$ $$x$$ — любое число.

3) $$x=a-6$$ при $$a\ne 6$$; при $$a=6$$ $$x$$ — любое число.

4) $$x=\frac{1}{a+2}$$ при $$a\ne \pm 2$$; при $$a=2$$ $$x$$ — любое число; при $$a=-2$$ корней нет.

5) $$x\in \mathbb{R},\ x\ne -1.$$

6) Корней нет.

7) Корней нет.