Упр.578 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   1) $$\sqrt{11+4\sqrt{7}}=\sqrt{7}+2$$;
   2) $$\sqrt{14+8\sqrt{3}}=\sqrt{8}+\sqrt{6}$$.
2. Федя и Оля ехали в одном поезде. Федя сел в двенадцатый вагон от головы поезда, а Оля — в шестой вагон от хвоста поезда. Оказалось, что они едут в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде?

1) Проверим равенство возведением обеих частей в квадрат:

$$\left(\sqrt{11+4\sqrt7}\right)^2=\left(\sqrt7+2\right)^2$$
$$11+4\sqrt7=7+4\sqrt7+4$$
$$11+4\sqrt7=11+4\sqrt7$$

Следовательно, $$\sqrt{11+4\sqrt7}=\sqrt7+2.$$

2) Аналогично:

$$\left(\sqrt{14+8\sqrt3}\right)^2=\left(\sqrt8+\sqrt6\right)^2$$
$$14+8\sqrt3=8+2\sqrt{48}+6$$
$$14+8\sqrt3=14+2\cdot 4\sqrt3$$
$$14+8\sqrt3=14+8\sqrt3$$

Значит, $$\sqrt{14+8\sqrt3}=\sqrt8+\sqrt6.$$

3) Пусть в поезде $$n$$ вагонов. Тогда вагон Феди — $$12$$-й от головы, а вагон Оли — $$6$$-й от хвоста. Если они едут в одном вагоне, то

$$12+6-1=n$$

$$n=17$$

Единицу вычитаем, потому что один и тот же вагон учитывается дважды.

Ответ

1) $$\sqrt{11+4\sqrt7}=\sqrt7+2$$; 2) $$\sqrt{14+8\sqrt3}=\sqrt8+\sqrt6$$; 3) $$17$$ вагонов.