Упр.574 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Вынесите множитель из-под знака корня:
   1) $$\sqrt{3a^2}$$, если $$a \geq 0$$;
   2) $$\sqrt{5b^2}$$, если $$b \leq 0$$;
   3) $$\sqrt{12a^4}$$;
   4) $$\sqrt{c^3}$$.
2. Упростите выражение:
   1) $$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$$;
   2) $$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$$.

1. Вынесем множитель из-под знака корня:

   $$\sqrt{3a^2}=\sqrt{a^2\cdot 3}=|a|\sqrt{3}.$$

   Так как $$a\ge 0,$$ то $$|a|=a,$$ значит

   $$\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$$

   $$\sqrt{5b^2}=\sqrt{b^2\cdot 5}=|b|\sqrt{5}.$$

   Так как $$b\le 0,$$ то $$|b|=-b,$$ значит

   $$\sqrt{5b^2}=-b\sqrt{5}.$$

   $$\sqrt{12a^4}=\sqrt{4a^4\cdot 3}=2a^2\sqrt{3}.$$

   $$\sqrt{c^3}=\sqrt{c^2\cdot c}=|c|\sqrt{c}.$$

   При $$c\ge 0$$ получаем

   $$\sqrt{c^3}=c\sqrt{c}.$$

2. 1)

   $$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}$$

   $$\sqrt{9+4\sqrt2}=\sqrt{(1+2\sqrt2)^2}=1+2\sqrt2,$$

   $$\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt{(1+\sqrt2)^2}=1+\sqrt2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}} =\sqrt{10+8(1+\sqrt2)} =\sqrt{18+8\sqrt2}.$$

   $$18+8\sqrt2=16+2+8\sqrt2=(4+\sqrt2)^2,$$

   значит

   $$\sqrt{18+8\sqrt2}=4+\sqrt2.$$

   2)

   $$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$$

   $$\sqrt{48}=4\sqrt3,$$

   $$\sqrt{13+\sqrt{48}}=\sqrt{13+4\sqrt3}=\sqrt{12+1+4\sqrt3}=\sqrt{(2+\sqrt3)^2}=2+\sqrt3.$$

   Тогда

   $$\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}} =\sqrt{3+(2+\sqrt3)} =\sqrt{5+\sqrt3}.$$

   Далее

   $$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}} =\sqrt{22+6(1+\sqrt3)} =\sqrt{28+6\sqrt3}.$$

   $$28+6\sqrt3=27+1+6\sqrt3=(\sqrt{27}+1)^2=(3\sqrt3+1)^2,$$

   следовательно

   $$\sqrt{28+6\sqrt3}=3\sqrt3+1.$$

Ответ

1) $$\sqrt{3a^2}=a\sqrt3,\quad \sqrt{5b^2}=-b\sqrt5,\quad \sqrt{12a^4}=2a^2\sqrt3,\quad \sqrt{c^3}=c\sqrt c;$$
2) $$4+\sqrt2;\quad 3\sqrt3+1.$$