Упр.572 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Сократите дробь:
   
   1) $$\frac{a^2-7}{a+\sqrt{7}}$$;
   
   2) $$\frac{\sqrt{3}-b}{3-b^2}$$;
   
   3) $$\frac{c-9}{\sqrt{c}-3}$$;
   
   4) $$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$.
2. Упростите выражение:
   $$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}}$$

1. $$\frac{a^2-7}{a+\sqrt7}=\frac{(a-\sqrt7)(a+\sqrt7)}{a+\sqrt7}=a-\sqrt7.$$

2. $$\frac{\sqrt3-b}{3-b^2}=\frac{\sqrt3-b}{(\sqrt3-b)(\sqrt3+b)}=\frac1{\sqrt3+b}.$$

3. $$\frac{c-9}{\sqrt c-3}=\frac{(\sqrt c-3)(\sqrt c+3)}{\sqrt c-3}=\sqrt c+3.$$

4. $$\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt a-\sqrt b.$$

5. $$\frac1{\sqrt3+1}+\frac1{\sqrt5+\sqrt3}+\frac1{\sqrt7+\sqrt5}+\dots+\frac1{\sqrt{91}+\sqrt{89}}.$$

   Рационализуем каждый знаменатель:
   $$\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-2}}{n-(n-2)}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-2}}2.$$

   Тогда
   $$\frac1{\sqrt3+1}+\frac1{\sqrt5+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{91}+\sqrt{89}} =\frac{(\sqrt3-1)+(\sqrt5-\sqrt3)+\cdots+(\sqrt{91}-\sqrt{89})}{2}.$$

   Внутри скобок все промежуточные слагаемые сокращаются:
   $$\frac{\sqrt{91}-1}{2}.$$

Ответ

1) $$a-\sqrt7$$

2) $$\frac1{\sqrt3+b}$$

3) $$\sqrt c+3$$

4) $$\sqrt a-\sqrt b$$

5) $$\frac{\sqrt{91}-1}{2}$$