Упр.571 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Разложите на множители выражение:
1) $$15-x^2$$;
2) $$49x^2-2$$;
3) $$36р-64q$$, если $$р\geq 0$$, $$q\geq 0$$;
4) $$с-100$$, если $$с\geq 0$$;
5) $$а-8b\sqrt{a}+16b^2$$;
6) $$m+2\sqrt{mn}+n$$, если $$m\geq 0$$, $$n\geq 0$$;
7) $$a-4\sqrt{a}+4$$;
8) $$5+\sqrt{5}$$;
9) $$\sqrt{3p}-р$$;
10) $$\sqrt{12}+\sqrt{32}$$. - Задание учебника 2019 года. Упростите выражение:
$$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$$.
- $$15-x^2=(\sqrt{15}-x)(\sqrt{15}+x).$$
- $$49x^2-2=(7x-\sqrt2)(7x+\sqrt2).$$
- При $$p\ge 0,\ q\ge 0$$:
$$36p-64q=(6\sqrt p)^2-(8\sqrt q)^2=(6\sqrt p-8\sqrt q)(6\sqrt p+8\sqrt q).$$ - При $$c\ge 0$$:
$$c-100=(\sqrt c)^2-10^2=(\sqrt c-10)(\sqrt c+10).$$ - $$a-8b\sqrt a+16b^2=(\sqrt a)^2-2\cdot \sqrt a\cdot 4b+(4b)^2=(\sqrt a-4b)^2.$$
- При $$m\ge 0,\ n\ge 0$$:
$$m+2\sqrt{mn}+n=(\sqrt m)^2+2\sqrt m\sqrt n+(\sqrt n)^2=(\sqrt m+\sqrt n)^2.$$ - $$a-4\sqrt a+4=(\sqrt a)^2-2\cdot \sqrt a\cdot 2+2^2=(\sqrt a-2)^2.$$
- $$5+\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5+1).$$
- $$\sqrt{3p}-p=\sqrt p\sqrt3-(\sqrt p)^2=\sqrt p(\sqrt3-\sqrt p).$$
- $$\sqrt{12}+\sqrt{32}=2\sqrt3+4\sqrt2=2(\sqrt3+2\sqrt2).$$
Упростим сумму:
$$\frac1{\sqrt2+1}+\frac1{\sqrt3+\sqrt2}+\frac1{\sqrt4+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$$
Рационализуем знаменатель каждого слагаемого:
$$\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-1}}{(\sqrt n+\sqrt{n-1})(\sqrt n-\sqrt{n-1})} =\sqrt n-\sqrt{n-1}.$$
Тогда
$$(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})= \sqrt{100}-1=10-1=9.$$
Ответ
1) $$\left(\sqrt{15}-x\right)\left(\sqrt{15}+x\right);$$
2) $$\left(7x-\sqrt2\right)\left(7x+\sqrt2\right);$$
3) $$\left(6\sqrt p-8\sqrt q\right)\left(6\sqrt p+8\sqrt q\right);$$
4) $$\left(\sqrt c-10\right)\left(\sqrt c+10\right);$$
5) $$\left(\sqrt a-4b\right)^2;$$
6) $$\left(\sqrt m+\sqrt n\right)^2;$$
7) $$\left(\sqrt a-2\right)^2;$$
8) $$\sqrt5(\sqrt5+1);$$
9) $$\sqrt p(\sqrt3-\sqrt p);$$
10) $$2(\sqrt3+2\sqrt2);$$
11) $$9.$$
