Упр.570 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Разложите на множители выражение:
1) $$a^2-3$$;
2) $$4b^2-2$$;
3) $$5-6c^2$$;
4) $$a-9$$, если $$a\geqslant0$$;
5) $$m-n$$, если $$m\geqslant0$$, $$n\geqslant0$$;
6) $$16x-25y$$, если $$x\geqslant0$$, $$y\geqslant0$$;
7) $$a-2\sqrt{a}+1$$;
8) $$4m-28\sqrt{mn}+49n$$, если $$m\geqslant0$$, $$n\geqslant0$$;
9) $$b+6\sqrt{b}+9$$;
10) $$3+2\sqrt{3c}+c$$;
11) $$2+\sqrt{2}$$;
12) $$6\sqrt{7}-7$$;
13) $$a-\sqrt{a}$$;
14) $$\sqrt{b}+\sqrt{3b}$$;
15) $$\sqrt{15}-\sqrt{5}$$.
Упростите выражение:
1) $$\sqrt{8+2\sqrt{7}}$$;
2) $$\sqrt{15+6\sqrt{6}}$$;
3) $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$$.

Подробный ответ

$$a^2-3=a^2-(\sqrt3)^2=(a-\sqrt3)(a+\sqrt3).$$
$$4b^2-2=(2b)^2-(\sqrt2)^2=(2b-\sqrt2)(2b+\sqrt2).$$
$$5-6c^2=(\sqrt5)^2-(\sqrt6\,c)^2=(\sqrt5-\sqrt6\,c)(\sqrt5+\sqrt6\,c).$$
При $$a\ge 0$$:
$$a-9=(\sqrt a)^2-3^2=(\sqrt a-3)(\sqrt a+3).$$
При $$m\ge 0,\ n\ge 0$$:
$$m-n=(\sqrt m)^2-(\sqrt n)^2=(\sqrt m-\sqrt n)(\sqrt m+\sqrt n).$$
При $$x\ge 0,\ y\ge 0$$:
$$16x-25y=(4\sqrt x)^2-(5\sqrt y)^2=(4\sqrt x-5\sqrt y)(4\sqrt x+5\sqrt y).$$
$$a-2\sqrt a+1=(\sqrt a)^2-2\sqrt a+1=(\sqrt a-1)^2.$$
При $$m\ge 0,\ n\ge 0$$:
$$4m-28\sqrt{mn}+49n=(2\sqrt m)^2-2\cdot 2\sqrt m\cdot 7\sqrt n+(7\sqrt n)^2=(2\sqrt m-7\sqrt n)^2.$$
$$b+6\sqrt b+9=(\sqrt b)^2+2\cdot \sqrt b\cdot 3+3^2=(\sqrt b+3)^2.$$
$$3+2\sqrt{3c}+c=(\sqrt3)^2+2\cdot \sqrt3\cdot \sqrt c+(\sqrt c)^2=(\sqrt3+\sqrt c)^2.$$
$$2+\sqrt2=\sqrt2\cdot \sqrt2+\sqrt2=\sqrt2(\sqrt2+1).$$
$$6\sqrt7-7=\sqrt7\cdot 6-7=\sqrt7(6-\sqrt7).$$
$$a-\sqrt a=(\sqrt a)^2-\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a-1).$$
$$\sqrt b+\sqrt{3b}=\sqrt b+\sqrt b\sqrt3=\sqrt b(1+\sqrt3).$$
$$\sqrt{15}-\sqrt5=\sqrt5\sqrt3-\sqrt5=\sqrt5(\sqrt3-1).$$
$$\sqrt{8+2\sqrt7}=\sqrt{7+2\sqrt7+1}=\sqrt{(\sqrt7+1)^2}=\sqrt7+1.$$
$$\sqrt{15+6\sqrt6}=\sqrt{9+6\sqrt6+6}=\sqrt{(3+\sqrt6)^2}=3+\sqrt6.$$
$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{2+2\sqrt{10}+5}=\sqrt{(\sqrt2+\sqrt5)^2}=\sqrt2+\sqrt5.$$

Ответ

1) $$(a-\sqrt3)(a+\sqrt3)$$
2) $$(2b-\sqrt2)(2b+\sqrt2)$$
3) $$(\sqrt5-\sqrt6\,c)(\sqrt5+\sqrt6\,c)$$
4) $$(\sqrt a-3)(\sqrt a+3)$$
5) $$(\sqrt m-\sqrt n)(\sqrt m+\sqrt n)$$
6) $$(4\sqrt x-5\sqrt y)(4\sqrt x+5\sqrt y)$$
7) $$(\sqrt a-1)^2$$
8) $$(2\sqrt m-7\sqrt n)^2$$
9) $$(\sqrt b+3)^2$$
10) $$(\sqrt3+\sqrt c)^2$$
11) $$\sqrt2(\sqrt2+1)$$
12) $$\sqrt7(6-\sqrt7)$$
13) $$\sqrt a(\sqrt a-1)$$
14) $$\sqrt b(1+\sqrt3)$$
15) $$\sqrt5(\sqrt3-1)$$
16) $$\sqrt7+1$$
17) $$3+\sqrt6$$
18) $$\sqrt2+\sqrt5$$