Упр.548 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Число $$a$$ — чётное, а число $$b$$ — нечётное. Значением какого из данных выражений обязательно является чётное число:
   1) $$(a+b)b$$;
   2) $$\frac{ab}{2}$$;
   3) $$\frac{a^2b}{2}$$;
   4) $$\frac{ab^2}{2}$$?
2. Вынесите множитель из-под знака корня:
   1) $$\sqrt{3a^2}$$, если $$a \geq 0$$;
   2) $$\sqrt{5b^2}$$, если $$b \leq 0$$;
   3) $$\sqrt{12a^4}$$;
   4) $$\sqrt{c^3}$$.

Пусть $$a$$ — чётное, а $$b$$ — нечётное число.

1. $$(a+b)b$$
   
   Сумма чётного и нечётного числа — нечётное число, значит
   $$(a+b)b = \text{нечётное} \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}.$$
2. $$\frac{ab}{2}$$
   
   Произведение чётного и нечётного числа — чётное, значит
   $$\frac{ab}{2} = \frac{\text{чётное}}{2}.$$
   Это не обязательно чётное число: например, при $$a=2$$ и $$b=1$$ получаем $$\frac{ab}{2}=1$$.
3. $$\frac{a^2b}{2}$$
   
   Так как $$a$$ чётное, то $$a^2$$ тоже чётное. Тогда
   $$a^2b = \text{чётное} \cdot \text{нечётное} = \text{чётное}.$$
   Следовательно,
   $$\frac{a^2b}{2}$$
   обязательно является чётным числом.
4. $$\frac{ab^2}{2}$$
   
   Так как $$b^2$$ нечётное, то
   $$ab^2 = \text{чётное} \cdot \text{нечётное} = \text{чётное}.$$
   Но после деления на $$2$$ результат не обязательно будет чётным: например, при $$a=2$$ и $$b=1$$ получаем $$\frac{ab^2}{2}=1$$.

Значит, обязательно чётным является только выражение $$\frac{a^2b}{2}$$.

Ответ

3)

Вынесем множитель из-под знака корня:

1. $$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3}\cdot \sqrt{a^2} = |a|\sqrt{3}.$$
   Так как $$a \ge 0$$, то $$|a|=a$$, значит
   $$\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$$
2. $$\sqrt{5b^2} = \sqrt{5}\cdot \sqrt{b^2} = |b|\sqrt{5}.$$
   Так как $$b \le 0$$, то $$|b|=-b$$, значит
   $$\sqrt{5b^2}=-b\sqrt{5}.$$
3. $$\sqrt{12a^4} = \sqrt{4\cdot 3 \cdot a^4} = 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{a^4}.$$
   Поскольку $$\sqrt{a^4}=a^2$$, получаем
   $$\sqrt{12a^4}=2a^2\sqrt{3}.$$
4. $$\sqrt{c^3} = \sqrt{c^2\cdot c} = |c|\sqrt{c}.$$
   Если $$c \ge 0$$, то $$|c|=c$$, поэтому
   $$\sqrt{c^3}=c\sqrt{c}.$$

Ответ

1) $$a\sqrt{3}$$; 2) $$-b\sqrt{5}$$; 3) $$2a^2\sqrt{3}$$; 4) $$c\sqrt{c}$$.