Упр.546 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
((a2-5a)/(a2-10a+25) + 25/(a2-25)) : (125-a3)/(5+a)
при а = 4,5. Сократите дробь:
1) (a2 — 7)/(a + корень 7);
2) (корень 3 — b)/(3 — b2);
3) (c — 9)/(корень c — 3);
4) (a — b)/(корень a + корень b);
Упростим выражение:
$$ \left(\frac{a^2-5a}{a^2-10a+25}+\frac{25}{a^2-25}\right):\frac{125-a^3}{5+a} $$
при $$a=4{,}5$$.
Разложим на множители:
$$ a^2-10a+25=(a-5)^2,\qquad a^2-25=(a-5)(a+5),\qquad 125-a^3=(5-a)(25+5a+a^2). $$
Тогда
$$ \left(\frac{a^2-5a}{(a-5)^2}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}\right):\frac{125-a^3}{a+5} $$
$$ =\left(\frac{a(a-5)}{(a-5)^2}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}\right)\cdot \frac{a+5}{125-a^3} $$
$$ =\left(\frac{a}{a-5}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}\right)\cdot \frac{a+5}{125-a^3} $$
$$ =\frac{a(a+5)+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{1}{125-a^3} =\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{1}{125-a^3}. $$
Так как
$$ 125-a^3=(5-a)(a^2+5a+25)=-(a-5)(a^2+5a+25), $$
то
$$ \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{1}{125-a^3} = \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{-1}{(a-5)(a^2+5a+25)} = -\frac{1}{(a-5)^2}. $$
Подставим $$a=4{,}5$$:
$$ -\frac{1}{(4{,}5-5)^2} = -\frac{1}{(-0{,}5)^2} = -\frac{1}{0{,}25} =-4. $$
Ответ
$$-4$$
Сократим дроби:
$$ \frac{a^2-7}{a+\sqrt7} $$
Так как $$a^2-7$$ не раскладывается на множители через $$a+\sqrt7$$, сокращение невозможно без дополнительного условия. Если в задании имелось в виду $$a^2-7=(a-\sqrt7)(a+\sqrt7)$$, то тогда
$$ \frac{a^2-7}{a+\sqrt7}=a-\sqrt7. $$$$ \frac{\sqrt3-b}{3-b^2} = \frac{\sqrt3-b}{(\sqrt3-b)(\sqrt3+b)} = \frac{1}{\sqrt3+b}. $$
$$ \frac{c-9}{\sqrt c-3} = \frac{(\sqrt c-3)(\sqrt c+3)}{\sqrt c-3} = \sqrt c+3. $$
$$ \frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b} = \sqrt a-\sqrt b. $$
