Упр.541 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- При каких значениях \(a\) выполняется равенство:
1) $$\sqrt{a^{10}}=a^5$$;
2) $$\sqrt{a^{10}}=-a^5$$;
3) $$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2$$;
4) $$\sqrt{a^2}=(\sqrt{-a})^2$$? - Найдите значение выражения:
1) $$(3+\sqrt{5})^2-6\sqrt{5}$$;
2) $$(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2+8\sqrt{6}$$.
1) Для корня квадратного всегда $$\sqrt{a^{10}}=|a^5|.$$
Чтобы выполнялось равенство $$\sqrt{a^{10}}=a^5,$$ нужно, чтобы $$a^5 \ge 0,$$ то есть $$a \ge 0.$$
Чтобы выполнялось равенство $$\sqrt{a^{10}}=-a^5,$$ нужно, чтобы $$a^5 \le 0,$$ то есть $$a \le 0.$$
2) Так как $$\sqrt{a^2}=|a|,$$ а $$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$ при $$a \ge 0,$$ то равенство $$\sqrt{a^2}=\left(\sqrt{a}\right)^2$$ выполняется при $$a \ge 0.$$
Аналогично, $$\sqrt{a^2}=|a|,$$ а $$\left(\sqrt{-a}\right)^2=-a$$ при $$a \le 0,$$ значит равенство $$\sqrt{a^2}=\left(\sqrt{-a}\right)^2$$ выполняется при $$a \le 0.$$
3) Вычислим значение выражения:
$$(3+\sqrt{5})^2-6\sqrt{5}=9+6\sqrt{5}+5-6\sqrt{5}=14.$$
4) Вычислим значение выражения:
$$(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2+8\sqrt{6} =12-2\cdot \sqrt{12}\cdot 2\sqrt{2}+4\cdot 2+8\sqrt{6}.$$
Так как $$\sqrt{12}=2\sqrt{3},$$ то
$$2\cdot \sqrt{12}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{6}.$$
Тогда
$$(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2+8\sqrt{6} =12-8\sqrt{6}+8+8\sqrt{6}=20.$$
Ответ
1) $$a \ge 0$$; 2) $$a \le 0$$; 3) $$a \ge 0$$; 4) $$a \le 0$$; 5) $$14$$; 6) $$20$$.
